Problema 254

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=\dfrac{9-x^2}4

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta x+2y=5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=1, por tanto:

f(1)=\dfrac{9-1^2}4=2\\\\f'(x)=\dfrac{-2x}4=\dfrac{-x}2\longrightarrow f'(1)=\dfrac{-1}2

Sustituimos en la ecuación de la recta tangente:

y-2=\dfrac{-1}2(x-1)\\\\y=\dfrac{-x+5}2

b) La función f(x)=\dfrac{9-x^2}4 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (3,0) y (-3,0).

La recta x+2y=5 es la recta tangente calculada en el apartado anterior. Dicha recta corta la función en el punto de tangencia (1,2), y corta al eje de abscisa en (5,0).

El esbozo de ambas gráficas debe ser semejante a la siguiente gráfica:

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Nos piden calcular el área S de la zona sombreada. Dicha área la calculamos con la siguiente integral:

\displaystyle S=\int_1^3\frac{-x+5}2-\frac{9-x^2}4~dx+\int_3^5\frac{-x+5}2~dx=\\\\=\int_1^5\frac{-x+5}2~dx-\int_1^3\frac{9-x^2}4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^2}4+\frac{5x}2\right]_1^5-\left[\frac{9x}4-\frac{x^3}{12}\right]_1^3=\\\\=\left[\left(\frac{-25}4+\frac{25}2\right)-\left(\frac{-1}4+\frac 52\right)\right]-\left[\left(\frac{27}4-\frac{27}{12}\right)-\left(\frac 94-\frac 1{12}\right)\right]=\\\\=\left[\frac{25}4-\frac 94\right]-\left[\frac{18}4-\frac{26}{12}\right]=4-\frac{28}{12}=\frac{20}{12}=\frac 53\mbox{ u.a.}

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