Sea 
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta x+2y=5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa 
En nuestro caso 
Sustituimos en la ecuación de la recta tangente:
b) La función 
La recta x+2y=5 es la recta tangente calculada en el apartado anterior. Dicha recta corta la función en el punto de tangencia (1,2), y corta al eje de abscisa en (5,0).
El esbozo de ambas gráficas debe ser semejante a la siguiente gráfica:
Nos piden calcular el área S de la zona sombreada. Dicha área la calculamos con la siguiente integral:
![\displaystyle S=\int_1^3\frac{-x+5}2-\frac{9-x^2}4~dx+\int_3^5\frac{-x+5}2~dx=\\\\=\int_1^5\frac{-x+5}2~dx-\int_1^3\frac{9-x^2}4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^2}4+\frac{5x}2\right]_1^5-\left[\frac{9x}4-\frac{x^3}{12}\right]_1^3=\\\\=\left[\left(\frac{-25}4+\frac{25}2\right)-\left(\frac{-1}4+\frac 52\right)\right]-\left[\left(\frac{27}4-\frac{27}{12}\right)-\left(\frac 94-\frac 1{12}\right)\right]=\\\\=\left[\frac{25}4-\frac 94\right]-\left[\frac{18}4-\frac{26}{12}\right]=4-\frac{28}{12}=\frac{20}{12}=\frac 53\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_1%5E3%5Cfrac%7B-x%2B5%7D2-%5Cfrac%7B9-x%5E2%7D4%7Edx%2B%5Cint_3%5E5%5Cfrac%7B-x%2B5%7D2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_1%5E5%5Cfrac%7B-x%2B5%7D2%7Edx-%5Cint_1%5E3%5Cfrac%7B9-x%5E2%7D4%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B-x%5E2%7D4%2B%5Cfrac%7B5x%7D2%5Cright%5D_1%5E5-%5Cleft%5B%5Cfrac%7B9x%7D4-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D%5Cright%5D_1%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-25%7D4%2B%5Cfrac%7B25%7D2%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B-1%7D4%2B%5Cfrac+52%5Cright%29%5Cright%5D-%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Cfrac%7B27%7D4-%5Cfrac%7B27%7D%7B12%7D%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac+94-%5Cfrac+1%7B12%7D%5Cright%29%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B25%7D4-%5Cfrac+94%5Cright%5D-%5Cleft%5B%5Cfrac%7B18%7D4-%5Cfrac%7B26%7D%7B12%7D%5Cright%5D%3D4-%5Cfrac%7B28%7D%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B12%7D%3D%5Cfrac+53%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\int_1^3\frac{-x+5}2-\frac{9-x^2}4~dx+\int_3^5\frac{-x+5}2~dx=\\\\=\int_1^5\frac{-x+5}2~dx-\int_1^3\frac{9-x^2}4~dx=\\\\=\left[\frac{-x^2}4+\frac{5x}2\right]_1^5-\left[\frac{9x}4-\frac{x^3}{12}\right]_1^3=\\\\=\left[\left(\frac{-25}4+\frac{25}2\right)-\left(\frac{-1}4+\frac 52\right)\right]-\left[\left(\frac{27}4-\frac{27}{12}\right)-\left(\frac 94-\frac 1{12}\right)\right]=\\\\=\left[\frac{25}4-\frac 94\right]-\left[\frac{18}4-\frac{26}{12}\right]=4-\frac{28}{12}=\frac{20}{12}=\frac 53\mbox{ u.a.}")
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