Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas
a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ.
b) Resuélvelo para λ=0 y λ=-1.
Solución:
a) Para clasificar este sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por definir las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el rango de la matriz M:
determinante cuyas raíces son λ=0 y λ=-1. Por tanto:
- Si λ≠0 y λ≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si λ=0, entonces
cuyo rango es 2 ya que
. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada en este caso:
Por tanto, el rango de M* también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
- Si λ=-1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
. Veamos ahora cuál es el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rango de M* es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
b) En primer lugar resolvemos el sistema para λ=0.
En este caso el sistema equivalente sería:
Para resolver el sistema hacemos el cambio z=μ de donde resulta x=0 e y=0. Luego la solución es:
- Resolvemos ahora el sistema para λ=-1.
El sistema equivalente sería:
Para resolver este sistema hacemos el cambio z=μ de donde y x es:
Por tanto, la solución del sistema es:
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