Problema 255

Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&y&&&=&\lambda\\&&2\lambda y&+&\lambda z&=&\lambda\\-x&-&y&+&\lambda z&=&0\end{array}\right.$

a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ.

b) Resuélvelo para λ=0 y λ=-1.

Solución:

a) Para clasificar este sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por definir las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&2\lambda&\lambda\\-1&-1&\lambda\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&-1&0&\lambda\\0&2\lambda&\lambda&\lambda\\-1&-1&\lambda&0\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz M:

$\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&2\lambda&\lambda\\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}=2\lambda^2+\lambda+\lambda=2\lambda^2+2\lambda=2\lambda(\lambda+1)$

determinante cuyas raíces son λ=0 y λ=-1. Por tanto:

Si λ≠0 y λ≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
Si λ=0, entonces $M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&0\\-1&-1&0\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-1\\-1&-1\end{vmatrix}$ . Veamos cual es el rango de la matriz ampliada en este caso:

$\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&0&0\\-1&-1&0\end{vmatrix}=0$

Por tanto, el rango de M* también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.

Si λ=-1, entonces $M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&-2&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-1\\0&-2\end{vmatrix}=-2$ . Veamos ahora cuál es el rango de la matriz ampliada: