Problema 255

Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&y&&&=&\lambda\\&&2\lambda y&+&\lambda z&=&\lambda\\-x&-&y&+&\lambda z&=&0\end{array}\right.

a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ.

b) Resuélvelo para λ=0 y λ=-1.


Solución:

a) Para clasificar este sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por definir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&2\lambda&\lambda\\-1&-1&\lambda\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&-1&0&\lambda\\0&2\lambda&\lambda&\lambda\\-1&-1&\lambda&0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&2\lambda&\lambda\\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}=2\lambda^2+\lambda+\lambda=2\lambda^2+2\lambda=2\lambda(\lambda+1)

determinante cuyas raíces son λ=0 y λ=-1. Por tanto:

  • Si λ≠0 y λ≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si λ=0, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&0\\-1&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\-1&-1\end{vmatrix}. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada en este caso:

\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&0&0\\-1&-1&0\end{vmatrix}=0

Por tanto, el rango de M* también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.

  • Si λ=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&-2&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\0&-2\end{vmatrix}=-2. Veamos ahora cuál es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&-1&-1\\0&-2&-1\\-1&-1&0\end{vmatrix}=-1+2-1=0

Por tanto, el rango de M* es 2, y el sistema es compatible indeterminado.


b) En primer lugar resolvemos el sistema para λ=0.

En este caso el sistema equivalente sería:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&y&&&=&0\\-x&-&y&&&=&0\end{array}\right.

Para resolver el sistema hacemos el cambio z=μ de donde resulta x=0 e y=0. Luego la solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=\mu\end{array}\right.

  • Resolvemos ahora el sistema para λ=-1.

El sistema equivalente sería:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&y&&&=&-1\\&&-2y&-&z&=&-1\end{array}\right.

Para resolver este sistema hacemos el cambio z=μ de donde y=\dfrac{-1+\mu}{-2} y x es:

x=y-1~;\\\\x=\dfrac{-1+\mu}{-2}-1~;\\\\x=\dfrac{1+\mu}{-2}

Por tanto, la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1+\mu}{-2}\\y=\dfrac{-1+\mu}{-2}\\z=\mu\end{array}\right.

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