Problema 256

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIdurán

Halla el punto simétrico de P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

$\left\{\begin{array}{lcc}x-z&=&0\\x+y+2&=&0\end{array}\right.$

Solución:

Para calcular el punto P´ simétrico de P con respecto a la recta r, hacemos los siguientes pasos:

Construimos un plano π perpendicular a r que pase por P.
Calculamos el punto donde el plano π corta a la recta r, punto que llamaremos M.
El punto M es el punto medio entre P y P´, por tanto, ya podríamos calcular P´.

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Comenzamos:

1.Para que π sea perpendicular a r utilizamos $\vec n_\pi=\vec v_r$ donde

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}=-\vec\jmath+\vec k+\vec\imath=(1,-1,1)$

Luego el plano π es $x-y+z+D=0$ . Obligamos a que π pase por P y así obtendremos el coeficiente D:

$2-1-5+D=0\longrightarrow D=4$

Luego el plano π es: $\pi\equiv x-y+z+4=0$ .

2. Uniendo las ecuaciones implícitas de la recta y del plano obtenemos el siguiente sistema:

$\left\{\begin{array}{lcc}x-z&=&0\\x+y&=&-2\\x-y+z&=&-4\end{array}\right.$

Sistema cuya solución son las coordenadas del punto M: (-2,0,-2)

3. La fórmula del punto medio es $M=\dfrac{P+P'}2$ , de donde $P'=2M-P$ , por tanto:

$P'=2(-2,0,-2)-(2,1,-5)=(-6,-1,1)$

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