Problema 256

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Halla el punto simétrico de P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

\left\{\begin{array}{lcc}x-z&=&0\\x+y+2&=&0\end{array}\right.

Solución:

Para calcular el punto P´ simétrico de P con respecto a la recta r, hacemos los siguientes pasos:

  1. Construimos un plano π perpendicular a r que pase por P.
  2. Calculamos el punto donde el plano π corta a la recta r, punto que llamaremos M.
  3. El punto M es el punto medio entre P y P´, por tanto, ya podríamos calcular P´.

p52

Comenzamos:

1.Para que π sea perpendicular a r utilizamos \vec n_\pi=\vec v_r donde

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}=-\vec\jmath+\vec k+\vec\imath=(1,-1,1)

Luego el plano π es x-y+z+D=0. Obligamos a que π pase por P y así obtendremos el coeficiente D:

2-1-5+D=0\longrightarrow D=4

Luego el plano π es: \pi\equiv x-y+z+4=0.

2. Uniendo las ecuaciones implícitas de la recta y del plano obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{lcc}x-z&=&0\\x+y&=&-2\\x-y+z&=&-4\end{array}\right.

Sistema cuya solución son las coordenadas del punto M: (-2,0,-2)

3. La fórmula del punto medio es M=\dfrac{P+P'}2, de donde P'=2M-P, por tanto:

P'=2(-2,0,-2)-(2,1,-5)=(-6,-1,1)

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