Problema 257

Sea la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=e^x(x-2)

a) Calcula las asíntotas de f.

b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de f.


Solución:

a) En primer lugar, esta función no tiene asíntota vertical ya que su dominio es \mathbb R.

  • Asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}e^x(x-2)=+\infty\\\\\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x(x-2)=0\cdot\infty=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x-2}{e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x-2}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}

La indeterminación \frac{\infty}{\infty} se resuelve utilizando la regla de L’Hópital.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x-2}{e^x}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-1}{e^x}=0

Por tanto, hacia -∞ la función se aproxima a la asíntota y=0. Hacia +∞ la función podría aproximarse a una asíntota oblicua. Veámoslo.

  • Asíntota oblicua:

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x(x-2)}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x\frac{(x-2)}x=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-2}x=+\infty\cdot 1=+\infty

Por tanto, no tiene asíntota oblicua.


b) Para estudiar la monotonía de una función comenzamos por calcular los puntos críticos de dicha función:

f'(x)=e^x(x-2)+e^x=e^x(x-1)

cuyas raíz es x=1.

Teniendo en cuenta este punto crítico y el dominio de f, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(1,+\infty)
  • Decrece en x\in(-\infty,1)
  • Mínimo en (1,f(1))=(1,-e)

c) En los puntos de inflexión, la segunda derivada de f vale 0:

f''(x)=e^x(x-1)+e^x=e^xx

cuya única raíz es x=0.

Estudiemos la curvatura de f para ver si se trata de un punto de inflexión:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\mbox{Concava}&\mbox{Convexa}\\\hline\end{array}

  • Cóncava en x\in(-\infty,0)
  • Convexa en x\in(0,+\infty)
  • Punto de inflexión (0,f(0))=(0,-2).

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s