Problema 258

Sea f una función continua en el intervalo [2,3] y F una función primitiva de f tal que F(2)=1 y F(3)=2. Calcula:

\displaystyle\mbox{a) }\int_2^3f(x)~dx

\displaystyle\mbox{b) }\int_2^3(5f(x)-7)~dx

\displaystyle\mbox{c) }\int_2^3(F(x))^2f(x)~dx


Solución:

\displaystyle\mbox{a) }\int_2^3f(x)~dx=[F(x)]_2^3=F(3)-F(2)=2-1=1


\displaystyle\mbox{b) }\int_2^3(5f(x)-7)~dx=5\int_2^3f(x)~dx-7\int_2^3dx=5[F(x)]_2^3-7[x]_2^3=\\\\=5(F(3)-F(2))-7(3-2)=5\cdot 1-7\cdot 1=-2


c) Dado que f(x) es la derivada de F(x), entonces esta integral es de tipo potencial

\displaystyle \int_2^3(F(x))^2f(x)~dx=\left[\frac{(F(x))^3}3\right]_2^3=\frac{2^3}3-\frac{1^3}3=\frac 73

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