Problema 259

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}0&0&1\\2&1&2\\1&k&1\end{pmatrix}

a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.

b) Para k=0, resuelve la ecuación matricial (X+I)\cdot A=A^t, donde I denota la matriz identidad y A^t la matriz traspuesta de A.


Solución:

a) Para que una matriz tenga inversa es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de 0.

\begin{vmatrix}0&0&1\\2&1&2\\1&k&1\end{vmatrix}=2k-1

Este determinante vale 0 para k=\frac 12, por tanto, para ese valor de k no existe la inversa de la matriz A.


b) En primer lugar despejamos X de la ecuación matricial:

(X+I)\cdot A=A^t~;\\\\X+I=A^tA^{-1}~;\\\\X=A^tA^{-1}-I

Para k=0 tenemos la matriz A=\begin{pmatrix}0&0&1\\2&1&2\\1&0&1\end{pmatrix}. Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj }A)^t}

|A|=-1

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&0\\-1&2&0\end{pmatrix}

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-2\\1&0&0\end{pmatrix}

La matriz X es:

X=A^tA^{-1}-I=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&1&0\\1&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-2\\1&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}1&2&-4\\0&1&-2\\0&2&-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&-4\\0&0&-2\\0&2&-4\end{pmatrix}

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