Problema 260

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2,-1,0), B(-2,1,0), y C(0,1,2).

a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.

b) Halla el área de dicho paralelogramo.

c) Calcula el vértice D.

Solución:

a) El paralelogramo es el siguiente:

p88

El centro del paralelogramo es el punto medio entre A y C, lo llamamos M.

M=\dfrac{A+B}2=\dfrac{((2,-1,0)+(0,1,2)}2=\dfrac{(2,0,2)}2=(1,0,1)

La recta r que nos piden, pasa por M tiene por vector director, uno perpendicular a los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{BC}, por tanto:

\overrightarrow{AB}=(-2,1,0)-(2,-1,0)=(-4,2,0)\\\\\overrightarrow{BC}=(0,1,2)-(-2,1,0)=(2,0,2)\\\\\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-4&2&0\\2&0&2\end{vmatrix}=4\vec\imath-4\vec k+8\vec\jmath=(4,8,-4)

Tomamos por vector director de r uno que sea paralelo a \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}, por ejemplo, \vec v_r=(1,2,-1).

La recta r buscada es:

\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=2\lambda\\z=1-\lambda\end{array}\right.

b) El área S del paralelogramo no es más que:

S=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|=|(4,8,-4)|=\sqrt{4^2+8^2+(-4)^2}=\sqrt{96}=4\sqrt6\mbox{ u.a.}

c) En el paralelogramo se cumple que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, siendo D el punto de coordenadas (x,y,z). Entonces:

(-4,2,0)=\overrightarrow{DC}~;\\\\(-4,2,0)=(0,1,2)-(x,y,z)~;\\\\(x,y,z)=(0,1,2)-(-4,2,0)=(4,-1,2)

El punto D(4,-1,2).

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