Problema 261

Sabiendo que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{a\cdot\mbox{sen}(x)-xe^x}{x^2} es finito, calcula el valor de a y el de dicho límite.


Solución:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{a\cdot\mbox{sen}(x)-xe^x}{x^2}=\frac{a\cdot 0-0\cdot e^0}0=\frac 00

Indeterminación que resolvemos empleando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{a\cdot\mbox{sen}(x)-xe^x}{x^2}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{a\cdot\cos(x)-e^x-xe^x}{2x}=\frac{a-1}0

Para que este último resultado no sea ya infinito, ha de ser a-1=0, de donde a=1.

Para este valor de a calculamos el valor del límite.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)-e^x-xe^x}{2x}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\mbox{sen}(x)-e^x-e^x-xe^x}2=\frac{-1-1}2=-1

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