Problema 262

Sea la función f definida por f(x)=\dfrac2{x^2-1} para x≠-1 y x≠1.

a) Halla una primitiva de f.

b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [2,k] sea ln(2), donde ln denota el logaritmo neperiano.


Solución:

a) Primero descomponemos la fracción. Como x^2-1=(x-1)(x+1), entonces:

\dfrac2{x^2-1}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+1}=\dfrac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}

de donde 2=A(x+1)+B(x-1). Calculamos A y B:

  • Si x=1→2=2A de donde A=1.
  • Si x=-1→2=-2B de donde B=-1.

Podemos ya obtener la primitiva de f:

\displaystyle F(x)=\int\dfrac2{x^2-1}~dx=\int\dfrac1{x-1}~dx+\int\dfrac{-1}{x+1}~dx=\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=\\\\=\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+c


b) El eje de abscisas es una recta cuya ecuación es y=0. Para valores de x=2, la función f es mayor que 0. Queremos que el área sea ln(2). Sabemos que k es mayor que 2.

Con todo lo dicho podemos escribir que:

\displaystyle \ln(2)=\int_2^kf(x)-0~dx=[F(x)]_2^k~;\\\\\ln(2)=F(k)-F(2)~;\\\\F(k)=F(2)+\ln(2)~;\\\\\ln\left|\dfrac{k-1}{k+1}\right|+c=\ln\left|\dfrac{2-1}{2+1}\right|+c+\ln(2)~;\\\\\ln\left|\dfrac{k-1}{k+1}\right|=\ln\left(\dfrac13\cdot 2\right)~;\\\\\dfrac{k-1}{k+1}=\dfrac23~;\\\\3(k-1)=2(k+1)~;\\\\3k-3=2k+2~;\\\\\boxed{k=5}

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