Sea la función f definida por 
a) Halla una primitiva de f.
b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [2,k] sea ln(2), donde ln denota el logaritmo neperiano.
Solución:
a) Primero descomponemos la fracción. Como 
de donde 
- Si x=1→2=2A de donde A=1.
- Si x=-1→2=-2B de donde B=-1.
Podemos ya obtener la primitiva de f:
b) El eje de abscisas es una recta cuya ecuación es y=0. Para valores de x=2, la función f es mayor que 0. Queremos que el área sea ln(2). Sabemos que k es mayor que 2.
Con todo lo dicho podemos escribir que:
![\displaystyle \ln(2)=\int_2^kf(x)-0~dx=[F(x)]_2^k~;\\\\\ln(2)=F(k)-F(2)~;\\\\F(k)=F(2)+\ln(2)~;\\\\\ln\left|\dfrac{k-1}{k+1}\right|+c=\ln\left|\dfrac{2-1}{2+1}\right|+c+\ln(2)~;\\\\\ln\left|\dfrac{k-1}{k+1}\right|=\ln\left(\dfrac13\cdot 2\right)~;\\\\\dfrac{k-1}{k+1}=\dfrac23~;\\\\3(k-1)=2(k+1)~;\\\\3k-3=2k+2~;\\\\\boxed{k=5}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cln%282%29%3D%5Cint_2%5Ekf%28x%29-0%7Edx%3D%5BF%28x%29%5D_2%5Ek%7E%3B%5C%5C%5C%5C%5Cln%282%29%3DF%28k%29-F%282%29%7E%3B%5C%5C%5C%5CF%28k%29%3DF%282%29%2B%5Cln%282%29%7E%3B%5C%5C%5C%5C%5Cln%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%5Cright%7C%2Bc%3D%5Cln%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B2-1%7D%7B2%2B1%7D%5Cright%7C%2Bc%2B%5Cln%282%29%7E%3B%5C%5C%5C%5C%5Cln%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%5Cright%7C%3D%5Cln%5Cleft%28%5Cdfrac13%5Ccdot+2%5Cright%29%7E%3B%5C%5C%5C%5C%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%3D%5Cdfrac23%7E%3B%5C%5C%5C%5C3%28k-1%29%3D2%28k%2B1%29%7E%3B%5C%5C%5C%5C3k-3%3D2k%2B2%7E%3B%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7Bk%3D5%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \ln(2)=\int_2^kf(x)-0~dx=[F(x)]_2^k~;\\\\\ln(2)=F(k)-F(2)~;\\\\F(k)=F(2)+\ln(2)~;\\\\\ln\left|\dfrac{k-1}{k+1}\right|+c=\ln\left|\dfrac{2-1}{2+1}\right|+c+\ln(2)~;\\\\\ln\left|\dfrac{k-1}{k+1}\right|=\ln\left(\dfrac13\cdot 2\right)~;\\\\\dfrac{k-1}{k+1}=\dfrac23~;\\\\3(k-1)=2(k+1)~;\\\\3k-3=2k+2~;\\\\\boxed{k=5}")
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