Problema 263

Considera el sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&\lambda+1\\&&3y&+&2z&=&2\lambda+3\\3x&+&(\lambda-1)y&+&z&=&\lambda\end{array}\right.$

a) Resuelve el sistema para λ=1.

b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución.

c) ¿Existe algún valor de λ para el que el sistema admite la solución $(\frac{-1}2,0,\frac12)$ ?

Solución:

a) Para λ=1, las matrices de coeficientes y ampliada son:

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&3&2\\3&0&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&3&2&5\\3&0&1&1\end{pmatrix}$

Calculamos el determinante de M:

$|M|=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&3&2\\3&0&1\end{vmatrix}=3+6-9=0$

El rango de esta matriz no es 3. Veamos si el rango vale 2:

$\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}=3\neq0$

Por tanto, el rango de M es 2. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

$\begin{vmatrix}1&1&2\\0&3&5\\3&0&1\end{vmatrix}=3+15-18=0$

Por tanto, el rango de M* también es 2, y según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado.

El sistema original es equivalente a:

$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&2\\&&3y&+&2z&=&5\end{array}\right.$

Para resolverlo hacemos el cambio z=μ:

$\left\{\begin{array}{ccccc}x&+&y&=&2-\mu\\&&3y&=&5-2\mu\end{array}\right.$

De aquí se obtiene que:

$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1-\mu}3\\\\y=\dfrac{5-2\mu}3\\\\z=\mu\end{array}\right.$

b) Para que el sistema sea compatible determinado, ha de ser el rango de M igual a 3, y para ello, ha de ser el determinante de M distinto de 0:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&3&2\\3&\lambda-1&1\end{vmatrix}=3+6-9-2(\lambda-1)=-2(\lambda-1)$

Este determinante vale 0 si λ=1, por tanto, el sistema es compatible determinado para λ≠1.

c)El sistema es:

$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&\lambda+1\\&&3y&+&2z&=&2\lambda+3\\3x&+&(\lambda-1)y&+&z&=&\lambda\end{array}\right.$

Sustituyendo la solución $(\frac{-1}2,0,\frac12)$ en la primera ecuación resulta:

$\frac{-1}2+0+\frac12=\lambda+1$

ecuación cuya solución es λ=-1. Veamos si para este valor de λ la solución verifica las otras dos ecuaciones:

$3\cdot 0+2\cdot\frac 12=2\cdot(-1)+3\longrightarrow1=1$ ✓

$3\cdot\frac{-1}2-2\cdot 0+\frac 12=-1\longrightarrow -1=-1$ ✓

Por tanto, el valor buscado es λ=-1.

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