Problema 264

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sean r y s las rectas dadas por

r\equiv\left\{\begin{array}{lcc}x+y-z&=&6\\x+z&=&3\end{array}\right.\qquad s\equiv\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}6=\dfrac z2

a) Determina el punto de intersección de ambas rectas.

b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene.

Solución:

a) Escribimos la recta s en forma paramétrica, pues es más fácil que hacerlo con la recta r:

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda\\y=-1+6\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.

Para encontrar donde se cortan r y s, sustituimos las paramétricas de s en una de las implícitas de r, por ejemplo en la primera ecuación:

x+y-z=6~;\\\\1-\lambda-1+6\lambda-2\lambda=6~;\\\\3\lambda=6~;\\\\\lambda=2

Sustituyendo λ=2 en las paramétricas de s, se obtiene el punto (-1,11,4).

Por último, comprobamos que este punto también verifica la segunda ecuación de r.

x+z=3~;\\\\-1+4=3

Luego, P=(-1,11,4) es el punto donde se cortan r y s. Si esta última ecuación no hubiera resultado cierta, significaría que r y s no se cortan.

b) Se trata de dos rectas que se cortan, por tanto, existe un plano que las contiene. Dicho plano se compone de un punto y dos vectores directores, que son: (P,\vec v_r,\vec v_s).

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&-1\\1&0&1\end{vmatrix}=\vec\imath-2\vec\jmath-\vec k=(1,-2,-1)

Dado que P=(-1,11,4) y que \vec v_s=(-1,6,2), la ecuación general del plano buscado es:

\begin{vmatrix}x+1&y-11&z-4\\1&-2&-1\\-1&6&2\end{vmatrix}=2(x+1)-(y-11)+4(z-4)=2x+2-y+11+4z-16=2x-y+4z-3

Luego la ecuación general del plano π buscado es:

\pi\equiv~2x-y+4z-3=0

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