Problema 265

Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y del cuadrado resultantes sea mínima.


Solución:

Las figuras siguientes muestran el cuadrado y el rectángulo formado con el alambre.p265Se cumple que la suma de los perímetros son los 2 metros que mide el alambre:

6y+4x=2

La función a optimizar es la suma de las áreas S:

S(x,y)=2y\cdot y+x^2=2y^2+x^2

Sabiendo que 6y+4x=2, podemos escribir que:

3y+2x=1~;\\\\x=\dfrac{1-3y}2

Sustituyendo en S:

S(y)=2y^2+\left(\dfrac{1-3y}2\right)^2=\dfrac{8y^2+(1-3y)^2}4=\\\\=\dfrac{8y^2+1+9y^2-6y}4=\dfrac{17y^2-6y+1}4

Calculamos los puntos críticos de esta función:

S'(y)=\dfrac{34y-6}4=0~;\\\\34y-6=0~;\\\\y=\frac3{17}

Dado que la función S(y) corresponde a una parábola convexa, en y=3/17 encontramos un mínimo.

El trozo correspondiente al rectángulo mide: 6y=6\cdot\frac 3{17}=\frac{18}{17}\mbox{ m}.

El trozo correspondiente al cuadrado mide: 2-\frac{18}{17}=\frac{16}{17}\mbox{ m}.

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