Problema 266

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y=4x,\,y=8-4x y la curva y=2x-x^2.

a) Realiza un esbozo de dicho recinto.

b) Calcula su área.


Solución:

p266

a) Las tres son funciones elementales.

  • y=4x es una función lineal cuya gráfica es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (1,4).
  • y=8-4x es una función afín cuya gráfica es una recta decreciente que pasa por los puntos (0,8), (1,4) y (2,0).
  • y=2x-x^2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que pasa por los puntos (0,0), (2,0) y (1,1).

b) La integral que nos permite calcular el área S es:

\displaystyle S=\int_0^14x-(2x-x^2)~dx+\int_1^2(8-4x)-(2x-x^2)~dx=\\\\=\int_0^12x+x^2~dx+\int_1^28-6x+x^2~dx=\\\\=\left[x^2+\frac{x^3}3\right]_0^1+\left[8x-3x^2+\frac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(1+\frac13\right)+\left(16-12+\frac83\right)-\left(8-3+\frac13\right)=\frac83\mbox{ u.a.}

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