Problema 267

Considera el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&ky&+&2z&=&k+1\\x&+&2y&+&kz&=&3\\(k+1)x&+&y&+&z&=&k+2\end{array}\right.

a) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución.

b) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?

c) Resuelve el sistema para k=0.


Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Primero escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&k&2\\1&2&k\\k+1&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&k&2&k+1\\1&2&k&3\\k+1&1&1&k+2\end{pmatrix}

Determinamos en primer lugar el rango de la matriz M:

\begin{vmatrix}1&k&2\\1&2&k\\k+1&1&1\end{vmatrix}=2+k^2(k+1)+2-4(k+1)-k-k=\\\\=k^3+k^2+4-4k-4-2k=k^3+k^2-6k=k(k^2+k-6)

Determinante cuyas raíces son k=0, k=2 y k=-3. Por tanto:

  • Si k≠0, k≠2 y k≠-3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=0, tenemos la matriz M=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&2&0\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\1&2\end{vmatrix}=2\neq0. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&0&1\\1&2&3\\1&1&2\end{vmatrix}=4+1-2-3=0

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.

  • Si k=2, la matriz M=\begin{pmatrix}1&2&2\\1&2&2\\3&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}=-5\neq0. Ahora veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&2&3\\1&2&3\\3&1&4\end{vmatrix}=0 ya que tiene dos filas iguales.

Por tanto, el rango de la matriz ampliada es 2, y el sistema es compatible indeterminado.

  • Si k=-3, la matriz M=\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&-3\\-2&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-3\\1&2\end{vmatrix}=5\neq0. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&-3&-2\\1&2&3\\-2&1&-1\end{vmatrix}=-2+18-2-8-3-3=0

Por tanto, en este caso, también se tiene que el rango de la matriz ampliada es 2, y el sistema es compatible indeterminado.

Entonces, los casos para los que el sistema tiene más de una solución son k=0, k=2 y k=-3.


b) Como demostramos en el apartado anterior, no existe el caso en que el sistema sea incompatible, luego no existes k para el que el sistema no tiene solución.


c) Para k=0, las matrices de coeficientes y ampliada tienen rango 2 como demostramos en el apartado a). El sistema a resolver sería:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&&&+&2z&=&1\\x&+&2y&&&=&3\end{array}\right.

Haciendo el cambio z=λ, se tiene el sistema

\left\{\begin{array}{ccccc}x&&&=&1-2\lambda\\x&+&2y&=&3\end{array}\right.

La soluciones de este sistema son, por tanto:

\left\{\begin{array}{l}x=1-2\lambda\\y=1+\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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