Considera el sistema de ecuaciones
a) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución.
b) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?
c) Resuelve el sistema para k=0.
Solución:
a) Para discutir un sistema de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Primero escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:
Determinamos en primer lugar el rango de la matriz M:
Determinante cuyas raíces son k=0, k=2 y k=-3. Por tanto:
- Si k≠0, k≠2 y k≠-3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si k=0, tenemos la matriz
cuyo rango es 2 ya que
. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
- Si k=2, la matriz
cuyo rango es 2 ya que
. Ahora veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rango de la matriz ampliada es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
- Si k=-3, la matriz
cuyo rango es 2 ya que
. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, en este caso, también se tiene que el rango de la matriz ampliada es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
Entonces, los casos para los que el sistema tiene más de una solución son k=0, k=2 y k=-3.
b) Como demostramos en el apartado anterior, no existe el caso en que el sistema sea incompatible, luego no existes k para el que el sistema no tiene solución.
c) Para k=0, las matrices de coeficientes y ampliada tienen rango 2 como demostramos en el apartado a). El sistema a resolver sería:
Haciendo el cambio z=λ, se tiene el sistema
La soluciones de este sistema son, por tanto:
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