Problema 268

Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores II

Se consideran los vectores \vec u=(k,1,1),\,\vec v=(2,1,-2) y \vec w=(1,1,k), donde k es un número real.

a) Determina los valores de k para los que \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w son linealmente independientes.

b) Determina los valores de k para los que \vec u+\vec v y \vec v-\vec w son ortogonales.

c) Para k=-1, determina aquellos vectores que son ortogonales a \vec v\mbox{ y }\vec w y tienen módulo 1.

Solución:

a) Para que los tres vectores sean linealmente independientes, la matriz formada con ellos ha de tener rango 3 y, por tanto, su determinante ser distinto de 0:

\begin{vmatrix}k&1&1\\2&1&-2\\1&1&k\end{vmatrix}=k^2-2+2-1-2k+2k=k^2-1

Determinante cuyo valor es 0 sí k=\pm1.

Por tanto, para que los tres vectores sean linealmente independientes ha de ser k\neq\pm1.

b) Comenzamos por calcular los vectores \vec u+\vec v y \vec v-\vec w:

\vec u+\vec v=(k+2,2,-1)\\\\\vec v-\vec w=(1,0,-2-k)

Para que ambos vectores sean ortogonales, ha de ser su producto escalar igual a 0:

(k+2,2,-1)\cdot(1,0,-2-k)=k+2+2+k=2k+2=0

Ecuación cuya solución es k=-1.

c) Para k=-1, un vector ortogonal a \vec v\mbox{ y }\vec w sería el producto vectorial de ambos:

\vec v\times\vec w=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&-2\\1&1&-1\end{vmatrix}=\vec\imath+\vec k=(1,0,1)

Para que además tenga módulo 1, es decir, sea unitario, dividimos este vector por su módulo:

\dfrac{(1,0,1)}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=(\frac1{\sqrt{2}},0,\frac1{\sqrt 2})=(\frac{\sqrt{2}}2,0,\frac{\sqrt 2}2)

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