Problema 268

Se consideran los vectores y , donde k es un número real.

a) Determina los valores de k para los que son linealmente independientes.

b) Determina los valores de k para los que y son ortogonales.

c) Para k=-1, determina aquellos vectores que son ortogonales a y tienen módulo 1.


Solución:

a) Para que los tres vectores sean linealmente independientes, la matriz formada con ellos ha de tener rango 3 y, por tanto, su determinante ser distinto de 0:

Determinante cuyo valor es 0 sí .

Por tanto, para que los tres vectores sean linealmente independientes ha de ser .


b) Comenzamos por calcular los vectores y

Para que ambos vectores sean ortogonales, ha de ser su producto escalar igual a 0:

Ecuación cuya solución es


c) Para , un vector ortogonal a sería el producto vectorial de ambos:

Para que además tenga módulo 1, es decir, sea unitario, dividimos este vector por su módulo:

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