Problema 269

Sea la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=\ln(x^2+3x+3)-x donde ln denota la función logaritmo neperiano.

a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-2.


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función, comenzamos por calcular los puntos críticos de dicha función:

f'(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}-1=0~;\\\\\dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}=1~;\\\\2x+3=x^2+3x+3~;\\\\x^2+x=0~;\\\\x(x+1)=0

Los puntos críticos son x=0 y x=-1.

Con los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-1,0)
  • Decrece en x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)
  • Mínimo en (-1,f(-1))=(-1,1)
  • Máximo en (0,f(0))=(0,ln 3)

b) La ecuación de la recta normal a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=\dfrac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=-2:

f(-2)=0-(-2)=2~;\\\\f'(-2)=\dfrac{-1}{1}-1=-2

Sustituyendo en la ecuación de la recta normal:

y-2=\dfrac{-1}{-2}(x-(-2))~;\\\\y=\dfrac x2+1+2~;\\\\y=\dfrac x2+3

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