Problema 270

Calcula los valores de a y b sabiendo que la función $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=ax^2+b\ln(x)$ , donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x=1 y que

$\displaystyle \int_1^4f(x)~dx=27-8\ln(4)$

Solución:

Que f tenga un extremo relativo en x=1 significa que $f'(1)=0$ . Utilizamos esta ecuación:

$f'(x)=2ax+\dfrac bx~;\\\\f'(1)=2a+b=0$

Tenemos así una primera ecuación que nos permitirá calcular los valores de a y b.

Utilizamos a continuación el dato de la integral, sabiendo que $\int \ln(x)~dx=x\ln(x)-x+k$ , por tanto:

$\displaystyle \int_1^4ax^2+b\ln(x)~dx=\left[\frac{ax^3}3+b(x\ln(x)-x)\right]_1^4=\\\\=\left(\frac{a\cdot4^3}3+b(4\ln(4)-4)\right)-\left(\frac{a\cdot1^3}3+b(1\ln(1)-1)\right)=\\\\=\frac{64a}3+4b\ln(4)-4b-\frac a3+b=\frac{63a}3+4b\ln(4)-3b=\\\\=21a-3b+4b\ln(4)$