Problema 270

Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=ax^2+b\ln(x), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x=1 y que

\displaystyle \int_1^4f(x)~dx=27-8\ln(4)


Solución:

Que f tenga un extremo relativo en x=1 significa que f'(1)=0. Utilizamos esta ecuación:

f'(x)=2ax+\dfrac bx~;\\\\f'(1)=2a+b=0

Tenemos así una primera ecuación que nos permitirá calcular los valores de a y b.

Utilizamos a continuación el dato de la integral, sabiendo que \int \ln(x)~dx=x\ln(x)-x+k, por tanto:

\displaystyle \int_1^4ax^2+b\ln(x)~dx=\left[\frac{ax^3}3+b(x\ln(x)-x)\right]_1^4=\\\\=\left(\frac{a\cdot4^3}3+b(4\ln(4)-4)\right)-\left(\frac{a\cdot1^3}3+b(1\ln(1)-1)\right)=\\\\=\frac{64a}3+4b\ln(4)-4b-\frac a3+b=\frac{63a}3+4b\ln(4)-3b=\\\\=21a-3b+4b\ln(4)

Igualamos este resultado al proporcionado:

21a-3b+4b\ln(4)=27-8\ln(4)

De esta ecuación resulta que ha de ser 4b=-8, de donde b=-2. También ha de ser 21a-3b=27. Como b=-2, 21a+6=27, de donde a=1.

Estos valores de a y b, verifican además la ecuación 2a+b=0 del dato del extremo relativo.

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