Problema 271

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&1\end{pmatrix}, sea B la matriz que verifica que AB=\begin{pmatrix}-2&1\\7&3\end{pmatrix}

a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.

b) Resuelve la ecuación matricial A^{-1}X-B=BA.


Solución:

a) Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante ha de ser distinto de 0.

|A|=\begin{vmatrix}3&-2\\5&1\end{vmatrix}=3+10=13

Entonces A tiene inversa.

Por otra parte, dado que |AB|=|A||B|, entonces |B|=\dfrac{|AB|}{|A|}

|AB|=\begin{vmatrix}-2&1\\7&3\end{vmatrix}=-6-7=-13

Por tanto |B|=\dfrac{-13}{13}=-1 y B tiene inversa.


b) De la ecuación A^{-1}X-B=BA despejamos la matriz X:

A^{-1}X-B=BA~;\\\\A^{-1}X=BA+B=B(A+I)~;\\\\X=AB(A+I)

siendo I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. Entonces:

X=AB(A+I)=\begin{pmatrix}-2&1\\7&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&-2\\5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&6\\43&-8\end{pmatrix}

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