Problema 272

Encuentra los puntos de la recta r\equiv~\dfrac{x-1}4=\dfrac{2-y}2=z-3 cuya distancia al plano \pi\equiv~x-2y+2z=1 vale 4 unidades.


Solución:

Escribimos la recta en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=1+4\lambda\\y=2-2\lambda\\z=3+\lambda\end{array}\right.

Un punto P de la recta r se escribirá en la forma: P=(1+4\lambda,2-2\lambda,3+\lambda).

Calculamos la distancia de P a π, e imponemos que valga 4 unidades:

d(P,\pi)=\dfrac{|(1+4\lambda)-2(2-2\lambda)+2(3+\lambda)-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=4

Resolvemos esta ecuación:

|1+4\lambda-4+4\lambda+6+2\lambda-1|=12~;\\\\|2+10\lambda|=12

Esta ecuación en valor absoluto tiene dos posibles soluciones:

  • 2+10\lambda=12\rightarrow 10\lambda=10\rightarrow \lambda=1

De donde P_1=(5,0,4).

  • -2-10\lambda=12\rightarrow10\lambda=-14\rightarrow\lambda=-1.4

De donde P_2=(-4.6,4.8,1.6)

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