Problema 273

Se considera la función derivable f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}1+\dfrac{a}{x-2}&\mbox{si}&x<1\\\\a+\dfrac b{\sqrt{x}}&\mbox{si}&x\geq1\end{array}\right.

Calcula los valores de a y b.


Solución:

Por ser derivable, esta función es continua en x=1, por tanto:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=f(1)

Utilizamos este dato:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^+}a+\dfrac b{\sqrt{x}}=a+b

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^-}1+\dfrac{a}{x-2}=1-a

\displaystyle f(1)=a+\dfrac b{\sqrt{1}}=a+b

De donde resulta que: a+b=1-a

Ahora, por ser derivable en x=1, se cumple que:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}f'(x)

Calculamos la función derivada:

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\dfrac{-a}{(x-2)^2}&\mbox{si}&x<1\\\\\dfrac {-b}{2x\sqrt{x}}&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

Calculamos los límites anteriores y los igualamos:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^+}\frac {-b}{2x\sqrt{x}}=\frac{-b}2

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{-a}{(x-2)^2}=-a

de donde resulta que \dfrac{-b}2=-a. Tenemos así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

\left\{\begin{array}{l}a+b=1-a\\\\\dfrac{-b}2=-a\end{array}\right.

cuya solución es a=\frac 14 y b=\frac 12.

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