Problema 274

Sea la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=(1-x^2)e^{-x}. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (-1,0).


Solución:

La primitiva F de f la calculamos con la siguiente integral que resolveremos utilizando el método de integración por partes:

\displaystyle F(x)=\int (1-x^2)e^{-x}~dx

\begin{array}{lcl}u=1-x^2&\longrightarrow&du=-2x~dx\\dv=e^{-x}~dx&\longrightarrow&v=-e^{-x}\end{array}

Luego:

\displaystyle F(x)=\int (1-x^2)e^{-x}~dx=-(1-x^2)e^{-x}-\int (-2x)(-e^{-x})~dx=\\\\=(x^2-1)e^{-x}-\int 2xe^{-x}~dx

Esta última integral también la resolveremos utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=2x&\longrightarrow&du=2~dx\\dv=e^{-x}~dx&\longrightarrow&v=-e^{-x}\end{array}

Por tanto:

\displaystyle F(x)=(x^2-1)e^{-x}-\int 2xe^{-x}~dx=(x^2-1)e^{-x}-\left[-2xe^{-x}-\int -2e^{-x}~dx\right]=\\\\=(x^2-1)e^{-x}+2xe^{-x}+2\int -e^{-x}~dx=(x^2-1)e^{-x}+2xe^{-x}+2e^{-x}+k

Simplificamos un poco el resultado:

F(x)=e^{-x}(x^2+2x+1)+k

Ahora nos dicen que la gráfica de F pasa por el puntos (-1,0), esto es, F(-1)=0, por tanto:

F(-1)=e^{-(-1)}\Big((-1)^2+2\cdot(-1)+1\Big)+k=e(0)+k=k=0

Luego k=0 y

F(x)=e^{-x}(x^2+2x+1)

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