Problema 275

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.

b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.


Solución

a) Con los datos aportados podemos construir el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z&=&57\\x&=&2(y+z)\end{array}\right.

siendo x el precio unitario del libro, y el precio unitario de la calculadora y z el precio unitario del estuche.

Según el teorema de Rouché-Fröbenius este sistema tiene tres incógnitas n=3 y el rango máximo de la matriz de coeficientes es 2, por tanto, es imposible que este sistema sea compatible determinado y, por tanto, es imposible determinar de forma unívoca el precio unitario de cada artículo.


b) Ahora se aporta una nueva ecuación

.50x+0.80y+0.75z=34

Ecuación que podemos reescribir

\frac 12x+\frac 45y+\frac 34z=34~;\\\\\dfrac{10x}{20}+\dfrac{16y}{20}+\dfrac{15z}{20}=34~;\\\\10x+16y+15z=680

Luego, el sistema a resolver es el siguiente

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&57\\x&-&2y&-&2z&=&0\\10x&+&16y&+&15z&=&680\end{array}\right.

Sistema que resolveremos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}57&1&1\\0&-2&-2\\680&16&15\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\10&16&15\end{vmatrix}}=\dfrac{114}3=38

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&57&1\\1&0&-2\\10&680&15\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\10&16&15\end{vmatrix}}=\dfrac{45}3=15

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&57\\1&-2&0\\10&16&680\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\10&16&15\end{vmatrix}}=\dfrac{12}3=4

Por tanto, el precio del libro es 38€, el de la calculadora 12€ y el del estuche es 4€.

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