Problema 276

Determina el punto P de la recta r\equiv\dfrac{x+3}2=\dfrac{y+5}3=\dfrac{z+4}3 que equidista del origen de coordenadas y del punto A(3,2,1).


Solución:

Hay varias formas de resolver este problema. Nosotros lo haremos de la siguiente manera:

Calculamos el lugar de los puntos que equidista de O(0,0,0) y de A(3,2,1). Este es el plano mediatriz π. Dicho plano pasa por el punto M:

M=\dfrac{O+A}2=(\frac 32,1,\frac 12)

y tiene por vector normal uno proporcional a \overrightarrow{OA}=(3,2,1)=\vec n_{\pi}

Con estos datos construimos el plano π:

\pi\equiv 3x+2y+z+D=0

Imponemos que pase por el punto M para calcular D:

3\cdot\frac 32+2\cdot 1+\frac 12+D=0~;\\\\7+D=0~;\\\\D=-7

Luego el plano mediatriz es:

\pi\equiv 3x+2y+z-7=0

El punto P buscado es r\cap\pi. Para calcular esta intersección sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

r en paramétricas: r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-3+2\lambda\\y=-5+3\lambda\\z=-4+3\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

3(-3+2\lambda)+2(-5+3\lambda)+(-4+3\lambda)-7=0~;\\\\-9+6\lambda-10+6\lambda-4+3\lambda-7=0~;\\\\-30+15\lambda=0~;\\\\\lambda=2

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta, obtenemos las coordenadas del punto P:

P=(1,1,2)

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