Problema 277

De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima.


Solución:

p153

Sea el siguiente triángulo rectángulo:

De él sabemos que a=10. Tenemos que calcular las dimensiones de aquel triángulo que tenga área máxima. Comenzamos por definir la función área S:

S=\dfrac{b\cdot c}2

Ésta es una función que depende de dos variables. Hemos de encontrar una ecuación que relacione ambas variables. En nuestro caso será la ecuación dada por el teorema de Pitágoras:

b^2+c^2=a^2~;\\\\c^2=10^2-b^2~;\\\\c=\sqrt{100-b^2}

Descartamos el valor negativo de c. La función S queda:

S(b)=\dfrac{b\sqrt{100-b^2}}2=\dfrac{\sqrt{100b^2-b^4}}2

Para optimizar la función calculamos los puntos críticos de esta función:

S'(b)=\dfrac 12\dfrac{200b-4b^3}{2\sqrt{100b^2-b^4}}=0~;\\\\200b-4b^3=0~;\\\\4b(50-b^2)=0

Ecuación que tiene tres soluciones:b=0,\,b=\pm\sqrt{50}, aunque la única solución válida es b=\sqrt{50}

Para comprobar que realmente se trata de un máximo, realizar el tes de la derivada segunda sería laborioso. Es más rápido estudiar la monotonía en el entorno del punto crítico:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt{50})&(\sqrt{50},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

En efecto, para b=\sqrt{50} tenemos un máximo. Falta calcular el valor del cateto c:

c=\sqrt{100-\sqrt{50}^2}=\sqrt{100-50}=\sqrt{50}

Es decir, que el triángulo rectángulo de área máxima es también isósceles.

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