Problema 278

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sean las funciones f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R y g:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb R definidas por f(x)=\dfrac{x^2}4 y g(x)=2\sqrt{x} respectivamente.

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan.

b) Calcula el área de dicho recinto.

Solución:

a) Para calcular donde se cortan ambas gráficas, igualamos sus ecuaciones y resolvemos:

\dfrac{x^2}4=2\sqrt{x}~;\\\\x^2=8\sqrt{x}~;\mbox{ elevando al cuadrado}\\\\x^4=64x~;\\\\x^4-64x=0~;\\\\x(x^3-64)=0

Ecuación cuyas soluciones reales son: x=0 y x=4. Por tanto, los puntos donde se cortan ambas gráficas son: (0,0) y (4,4).

El esbozo de ambas gráficas es sencillo pues se trata de funciones elementales. f es una parábola convexa que pasa por los puntos (-2,1), (0,0) y (2,1), siendo el punto (0,0) el vértice.

La función g es una función irracional creciente en todo su dominio y que pasa por los puntos (0,0), (1,2).

El esbozo debería ser semejante a la siguiente gráfica:p278

b) El área S lo calculamos con la siguiente integral:

\displaystyle S=\int_0^42\sqrt{x}-\frac{x^2}4~dx=\left[2\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\left[\frac{4x^{3/2}}{3}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\\\\=\frac{4\cdot4^{3/2}}3-\frac{4^3}{12}=\frac{32}3-\frac{16}3=\frac{16}3\mbox{ u.a.}

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