Sean las funciones 
a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan.
b) Calcula el área de dicho recinto.
Solución:
a) Para calcular donde se cortan ambas gráficas, igualamos sus ecuaciones y resolvemos:
Ecuación cuyas soluciones reales son: x=0 y x=4. Por tanto, los puntos donde se cortan ambas gráficas son: (0,0) y (4,4).
El esbozo de ambas gráficas es sencillo pues se trata de funciones elementales. f es una parábola convexa que pasa por los puntos (-2,1), (0,0) y (2,1), siendo el punto (0,0) el vértice.
La función g es una función irracional creciente en todo su dominio y que pasa por los puntos (0,0), (1,2).
El esbozo debería ser semejante a la siguiente gráfica:
b) El área S lo calculamos con la siguiente integral:
![\displaystyle S=\int_0^42\sqrt{x}-\frac{x^2}4~dx=\left[2\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\left[\frac{4x^{3/2}}{3}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\\\\=\frac{4\cdot4^{3/2}}3-\frac{4^3}{12}=\frac{32}3-\frac{16}3=\frac{16}3\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E42%5Csqrt%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D4%7Edx%3D%5Cleft%5B2%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B3%2F2%7D-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D%5Cright%5D_0%5E4%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B4x%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D%5Cright%5D_0%5E4%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7B4%5Ccdot4%5E%7B3%2F2%7D%7D3-%5Cfrac%7B4%5E3%7D%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B32%7D3-%5Cfrac%7B16%7D3%3D%5Cfrac%7B16%7D3%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_0^42\sqrt{x}-\frac{x^2}4~dx=\left[2\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\left[\frac{4x^{3/2}}{3}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\\\\=\frac{4\cdot4^{3/2}}3-\frac{4^3}{12}=\frac{32}3-\frac{16}3=\frac{16}3\mbox{ u.a.}")
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