Problema 279

Considera el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&kz&=&1\\2x&+&ky&&&=&1\\&&y&+&2z&=&k\end{array}\right.

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k.

b) Resuélvelo para k=1.

c) Resuélvelo para k=-1.


Solución:

a) Para clasificar el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&k\\2&k&0\\0&1&2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&k&1\\2&k&0&1\\0&1&2&k\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M utilizando su determinante:

\begin{vmatrix}1&1&k\\2&k&0\\0&1&2\end{vmatrix}=2k+2k-4=4k-4

determinante cuya raíz es k=1. Por tanto:

  • Si k≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&0\\0&1&2\end{pmatrix} y su rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1.

Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&1&1\\2&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=1+2-2-1=0

y, por tanto, rg(M*)=2=rg(M)<n, y el sistema es compatible indeterminado.


b) Para resolver el sistema con k=1, hacemos el cambio z=\lambda. En este caso el sistema original sería equivalente a:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&kz&=&1\\2x&+&ky&&&=&1\\&&y&+&2z&=&k\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&1\\2x&+&y&&&=&1\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{ccccc}x&+&y&=&1-\lambda\\2x&+&y&=&1\end{array}\right.

Si a la ecuación segunda le restamos la primera, resulta x=\lambda de donde y=1-2\lambda.

En definitiva, la solución del sistema en este caso es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1-2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.


c) En el caso k=-1, el sistema es compatible determinado como dijimos en el apartado a). Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer, pero primero reescribimos el sistema para este valor de k:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&-&z&=&1\\2x&-&y&&&=&1\\&&y&+&2z&=&-1\end{array}\right.

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&-1&0\\-1&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2-1+1-2}{-2-2-4}=\dfrac{-4}{-8}=\dfrac 12

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\0&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{2+2-4}{-8}=\dfrac{0}{-8}=0

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\0&1&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{1+2+2-1}{-8}=\dfrac{4}{-8}=\dfrac{-1}2

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