Considera el sistema de ecuaciones
a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k.
b) Resuélvelo para k=1.
c) Resuélvelo para k=-1.
Solución:
a) Para clasificar el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el rango de M utilizando su determinante:
determinante cuya raíz es k=1. Por tanto:
- Si k≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si k=1, entonces
y su rango es 2 ya que
.
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
y, por tanto, rg(M*)=2=rg(M)<n, y el sistema es compatible indeterminado.
b) Para resolver el sistema con k=1, hacemos el cambio 
Si a la ecuación segunda le restamos la primera, resulta 
En definitiva, la solución del sistema en este caso es:
c) En el caso k=-1, el sistema es compatible determinado como dijimos en el apartado a). Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer, pero primero reescribimos el sistema para este valor de k:
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