Problema 280

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera el punto P(1,0,2) y la recta r dada por las ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}2x-y-4&=&0\\y+2z-8&=&0\end{array}\right.

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.

Solución:

a) Como nos piden un plano π perpendicular a r, entonces el vector normal de π será proporcional al vector director de r. Calculemos dicho vector \vec v_r:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}=-2\vec\imath-4\vec\jmath+2\vec k=(-2,-4,2)

Simplificando este vector nos queda, \vec v_r=(1,2,-1)=\vec n_{\pi}.

La ecuación implícita de π nos va quedando como: x+2y-z+D=0.

Para calcular D, imponemos que π pase por P:

1+2\cdot 0-2+D=0~;\\\\D=1

Luego el plano buscado es:

\pi\equiv x+2y-z+1=0

b) La intersección del plano π con la recta r es el punto M que es el punto medio entre P y P´:

p52

Calculamos dicho punto resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano:

\left\{\begin{array}{ccc}2x-y-4&=&0\\y+2z-8&=&0\\x+2y-z+1=0\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&y&&&=&4\\&&y&+&2z&=&8\\x&+&2y&-&z&=&-1\end{array}\right.

Resolvemos este sistema por Gauss:

E_3\rightarrow 2E_3-E_1\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&y&&&=&4\\&&y&+&2z&=&8\\&&5y&-&2z&=&-6\end{array}\right.

E_3\rightarrow E_3-5E_2\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&y&&&=&4\\&&y&+&2z&=&8\\&&&-&12z&=&-46\end{array}\right.

De donde z=\frac{-46}{-12}=\frac{23}6

Sustituyendo en la ecuación 2:

y=8-2\cdot\dfrac{23}6=\dfrac 13

Sustituyendo en la ecuación 1:

2x=4+\dfrac 13~;\\\\x=2+\dfrac 16=\dfrac{13}6

Luego el punto M es: (\frac{13}6,\frac 13,\frac{23}6).

Aplicando la fórmula del punto medio obtenemos P´:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(\frac{13}3,\frac 23,\frac{23}3)-(1,0,2)=(\frac{10}3,\frac 23,\frac{17}3)

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