Problema 281

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Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.


Solución:

Observamos en primer lugar que el diámetro del semicírculo es x, por tanto, su radio es \frac x2.

La función a optimizar es el área. Definimos el área S de esta ventana como la suma del área del rectángulo inferior más el del semicírculo superior:

S(x,y)=x\cdot y+\dfrac{\pi\left(\dfrac x2\right)^2}2

Para optimizar esta función tenemos que encontrar sus puntos críticos. Para ello, primero debemos eliminar una de las variables utilizando el dato del perímetro.

El perímetro de esta ventana es 10 m, por tanto se cumple :

x+2y+\dfrac{2\pi\frac x2}2=10~;\\\\\dfrac{2x+4y+\pi x}2=10~;\\\\4y+(2+\pi)x=20~;\\\\y=\dfrac{20-(2+\pi)x}4\qquad(1)

Sustituimos en la función área:

S(x)=x\cdot\dfrac{20-(2+\pi)x}4+\dfrac{\pi x^2}8=\dfrac{2(20x-(2+\pi)x^2)+\pi x^2}8=\\\\=\dfrac{40x-(4+\pi)x^2}8

Calculamos sus puntos críticos:

S'(x)=\dfrac{40-2(4+\pi)x}8=0~;\\\\40-2(4+\pi)x=0~;\\\\20-(4+\pi)x=0~;\\\\x=\dfrac{20}{4+\pi}\approx 2.8\mbox{ m}

Utilizaremos el test de la derivada segunda para saber si se trata de un máximo o un mínimo:

S''(x)=\dfrac{-2(4+\pi)}8\\\\S''(\frac{20}{4+\pi})=\dfrac{-2(4+\pi)}8<0

por tanto, se trata de un máximo.

Nos queda calcular la dimensión y de la ventana sustituyendo en (1):

y(x)=\dfrac{20-(2+\pi)x}4\\\\y(\frac{20}{4+\pi})=\dfrac{20-(2+\pi)\frac{20}{4+\pi}}4=5\cdot\left(1-\dfrac{2+\pi}{4+\pi}\right)=\\\\=5\cdot \dfrac{4+\pi-2-\pi}{4+\pi}=\dfrac{10}{4+\pi}\approx 1.4\mbox{ m}

Por tanto, x≈2.8 m e y≈1.4 m.

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