Problema 282

Calcula el valor de b>0, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y=\sqrt x y la recta y=bx es de \frac 43 unidades cuadradas.


Solución:

En primer lugar calculamos en qué puntos se cortan ambas funciones, para ello igualamos sus expresiones y resolvemos:

\sqrt x=bx~;\mbox{elevamos al cuadrado}\\\\x=b^2x^2~;\\\\b^2x^2-x=0~;\\\\x(b^2x-1)=0

ecuación ésta última cuyas soluciones son x=0 y x=\frac 1{b^2}=b^{-2}. Estos serán los límites de integración de la integral definida que utilizamos para calcular el área de la región comprendida por ambas curvas:

\displaystyle \int_0^{b^{-2}}\sqrt x-bx~dx=\int_0^{b^{-2}}x^{1/2}-bx~dx=\left[\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{bx^2}2\right]_0^{b^{-2}}=\\\\=\left(\frac{2(b^{-2})^{3/2}}3-\frac{b(b^{-2})^2}2\right)-(0)=\frac{4b^{-3}-3b^{-3}}6=\frac 1{6b^3}

Igualamos el valor de esta integral a \frac 43 y resolvemos:

\displaystyle \dfrac 43=\dfrac 1{6b^3}~;\\\\8b^3=1~;\\\\b^3=\dfrac 18~;\\\\b=\sqrt[3]{\dfrac 18}~;\\\\b=\dfrac 12

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