Problema 283

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\lambda&1\\0&-1&\lambda\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}

a) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?

b) Para λ=1, resuelve la ecuación matricial A^{-1}XA=B.


Solución:

a) Para que una matriz no tenga inversa su determinante ha de ser igual a 0. Por tanto, calculamos el determinante de A, lo igualamos a 0 y resolvemos:

|A|=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&\lambda&1\\0&-1&\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2+1

\lambda^2+1=0

ecuación que no tiene solución real. Por tanto, no existe ningún valor de λ para el cual A no tiene inversa.


b) Despejamos la matriz X de la ecuación dada:

A^{-1}XA=B~;\\\\XA=AB~;\\\\X=ABA^{-1}

Calculamos la matriz A^{-1} utilizando la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

Para λ=1:

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}

|A|=1^2+1=2

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac 12\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}

Podemos ya calcular la matriz X:

X=ABA^{-1}~;\\\\X=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\dfrac 12\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}\dfrac 12\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}=\\\\=\dfrac 12\begin{pmatrix}0&1&1\\2&1&-1\\-2&1&-1\end{pmatrix}

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