Problema 284

Dados los puntos A(1,0,0), B(0,0,1) y P(1,-1,1), y la recta r definida por

\left\{\begin{aligned}x-y-2=0\\z=0\end{aligned}\right.

a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.

b) Calcula el área del triángulo ABP.


Solución:

a) Escribimos la recta r en forma paramétrica haciendo el cambio y=λ. De esa forma resultan las ecuaciones paramétricas de r:

\left\{\begin{aligned}x&=2+\lambda\\y&=\lambda\\z&=0\end{aligned}\right.

Un punto Q cualquiera de r se escribirá en la forma:

Q=(2+\lambda,\lambda,0)

Ahora imponemos que este punto Q diste 3 unidades de P:

d(Q,P)=\sqrt{(2+\lambda-1)^2+(\lambda+1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(1+\lambda)^2+(\lambda+1)^2+(-1)^2}=\\\\=\sqrt{1+\lambda^2+2\lambda+\lambda^2+1+2\lambda+1}=\sqrt{2\lambda^2+4\lambda+3}=3

Resolvemos la última ecuación:

\sqrt{2\lambda^2+4\lambda+3}=3~;\mbox{ elevando al cuadrado}\\\\2\lambda^2+4\lambda+3=9~;\\\\2\lambda^2+4\lambda-6=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son λ=1 y λ=-3.

  • Con λ=1 se obtiene el punto Q_1=(3,1,0)
  • Con λ=-3 se obtiene el punto Q_2=(-1,-3,0)

b) El área S del triángulo ABP es igual a:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}|}2

\overrightarrow{AB}=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)\\\\\overrightarrow{AP}=(1,-1,1)-(1,0,0)=(0,-1,1)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&0&1\\0&-1&1\end{vmatrix}=\vec\imath+\vec\jmath+\vec k=(1,1,1)

de donde:

S=\dfrac{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}2=\dfrac{\sqrt3}2\mbox{ u.a.}

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