Sea la función definida por
a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo .
b) Para y
halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Solución:
a) Esta función a trozos está formada por dos funciones elementales que son continuas en todo el dominio. Resta solo estudiar la continuidad y derivabilidad en x=2.
- Continuidad en x=2:
Para que f sea continua en x=2, ha de ser de donde se obtiene
- Derivabilidad en x=2:
Primero calculamos la función derivada:
de donde, para que f sea derivable en x=2 ha de ser .
Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones obtenidas, tenemos que: y
b) Para calcular los extremos de f simplemente hacemos 0 la derivada de f y resolvemos. La función f´ es una función a trozos pero eso no es problema, lo hacemos por trozos
cuya solución es x=1 que pertenece al intervalo donde está definido este trozo.
es una ecuación sin solución.
Calculamos el valor que toma la función en el punto crítico x=1:
Evaluamos también la función en los extremos del intervalo de definición:
Luego tenemos un mínimo en y un máximo absoluto en
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