Problema 285

Sea $f:[\frac 1e,4]\rightarrow\mathbb R$ la función definida por

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}x-\ln(x)+a&\mbox{si}&\frac 1e\leq x\leq 2\\\\bx+1-\ln(2)&\mbox{si}&2<x\leq 4\end{array}\right.$

a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo $(\frac 1e,4)$ .

b) Para $a=0$ y $b=\frac 12$ halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución:

a) Esta función a trozos está formada por dos funciones elementales que son continuas en todo el dominio. Resta solo estudiar la continuidad y derivabilidad en x=2.

Continuidad en x=2:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow2^+}bx+1-\ln(2)=2b+1-\ln(2)\\\\\lim_{x\rightarrow2^-}x-\ln(x)+a=2+a-\ln(2)\\\\f(2)=2-\ln(2)+a=2+a-\ln(2)$

Para que f sea continua en x=2, ha de ser $2b+1-\ln(2)=2+a-\ln(2)$ de donde se obtiene

$-a+2b=1$

Derivabilidad en x=2:

Primero calculamos la función derivada:

$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}1-\dfrac 1x&\mbox{si}&\frac 1e<x<2\\\\b&\mbox{si}&2<x<4\end{array}\right.$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^+}b=b\\\\\lim_{x\rightarrow 2^-}1-\dfrac 1x=\dfrac 12$

de donde, para que f sea derivable en x=2 ha de ser $b=\dfrac 12$ .

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones obtenidas, tenemos que: $b=\dfrac 12$ y $a=0.$

b) Para calcular los extremos de f simplemente hacemos 0 la derivada de f y resolvemos. La función f´ es una función a trozos pero eso no es problema, lo hacemos por trozos