Problema 285

Sea f:[\frac 1e,4]\rightarrow\mathbb R la función definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}x-\ln(x)+a&\mbox{si}&\frac 1e\leq x\leq 2\\\\bx+1-\ln(2)&\mbox{si}&2<x\leq 4\end{array}\right.

a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo (\frac 1e,4).

b) Para a=0 y b=\frac 12 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Solución:

a) Esta función a trozos está formada por dos funciones elementales que son continuas en todo el dominio. Resta solo estudiar la continuidad y derivabilidad en x=2.

  • Continuidad en x=2:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow2^+}bx+1-\ln(2)=2b+1-\ln(2)\\\\\lim_{x\rightarrow2^-}x-\ln(x)+a=2+a-\ln(2)\\\\f(2)=2-\ln(2)+a=2+a-\ln(2)

Para que f sea continua en x=2, ha de ser 2b+1-\ln(2)=2+a-\ln(2) de donde se obtiene

-a+2b=1

  • Derivabilidad en x=2:

Primero calculamos la función derivada:

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}1-\dfrac 1x&\mbox{si}&\frac 1e<x<2\\\\b&\mbox{si}&2<x<4\end{array}\right.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^+}b=b\\\\\lim_{x\rightarrow 2^-}1-\dfrac 1x=\dfrac 12

de donde, para que f sea derivable en x=2 ha de ser b=\dfrac 12.

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones obtenidas, tenemos que: b=\dfrac 12 y a=0.


b) Para calcular los extremos de f simplemente hacemos 0 la derivada de f y resolvemos. La función f´ es una función a trozos pero eso no es problema, lo hacemos por trozos

  • 1-\dfrac 1x=0 cuya solución es x=1 que pertenece al intervalo donde está definido este trozo.
  • \dfrac 12=0 es una ecuación sin solución.

Calculamos el valor que toma la función en el punto crítico x=1:

f(1)=1-\ln(1)=1

Evaluamos también la función en los extremos del intervalo de definición:

f(\frac 1e)=\dfrac 1e-\ln(\frac 1e)=\dfrac 1e+1\approx 1.37

f(4)=3-\ln(2)\approx 2.31

Luego tenemos un mínimo en (x,y)=(1,1) y un máximo absoluto en (x,y)=(4,3-\ln(2)).

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