Problema 286

Sea f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x(1-\ln(x)), donde ln denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(1,1).


Solución:

Calculamos la primitiva de f, \int x(1-\ln(x))~dx, utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=1-\ln(x)&\longrightarrow&du=-\dfrac 1x~dx\\dv=x~dx&\longrightarrow&v=\dfrac{x^2}2\end{array}

luego

\displaystyle F(x)=\int x(1-\ln(x))~dx=\dfrac{x^2}2(1-\ln(x))-\int \dfrac{x^2}2\dfrac 1x~dx=\\\\=\dfrac{x^2}2(1-\ln(x))-\dfrac 12\int x~dx=\\\\=\dfrac{x^2}2(1-\ln(x))-\dfrac{x^2}4+k

Ahora imponemos que pase por el punto (1,1), es decir, que F(1)=1:

F(1)=\dfrac{1^2}2(1-\ln(1))-\dfrac{1^2}4+k=\\\\=\dfrac 12-\dfrac 14+k=\dfrac 14+k=1

de donde

k=1-\dfrac 14=\dfrac 34

Por tanto, la primitiva de f es:

F(x)=\dfrac{x^2}2(1-\ln(x))-\dfrac{x^2}4+\dfrac 34

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