Problema 287

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&t+1&t-1\\-2t-1&0&t+3\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.

b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX=O tiene más de una solución.


Solución:

a) La matriz A es una matriz 3×3 y su dimensión máxima será por tanto 3.

\begin{vmatrix}1&1&0\\2&t+1&t-1\\-2t-1&0&t+3\end{vmatrix}=(t+1)(t+3)+(t-1)(-2t-1)-2(t+3)=\\\\=t^2+3t+t+3-2t^2-t+2t+1-2t-6=-t^2+3t-2

determinante cuyas raíces son t=1 y t=2. Por tanto:

  • Si t≠1 y t≠2, el rango de A es 3.
  • Si t=1, entonces A=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&2&0\\-3&0&4\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&0\\0&4\end{vmatrix}=8\neq0.
  • Si t=2, entonces A=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\-5&0&5\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=1\neq0

b) Los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Para que tenga más de una solución ha de ser compatible indeterminado, lo cual implica que el rango de la matriz de coeficientes A ha de ser menor que el número de variables, en este caso 3. Es decir, el rango de A ha de ser 2 o inferior, cosa que se cumple para t=1 y t=3 como vimos antes, y son estos dos valores la solución del problema.

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