Problema 288

Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r de ecuaciones \left\{\begin{aligned}x+z=1\\y+z=0\end{aligned}\right.

a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P.

b) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y+z=0, que es perpendicular a r y pasa por P.


Solución:

a) La recta r está escrita como la intersección de dos planos, x+z=1 y y+z=0.

Observamos que el segundo plano contiene al punto P(1,1,-1), por tanto, el plano buscado es y+z=0.


b) Primero escribimos la recta r en forma paramétrica haciendo el cambio x=λ.

\left\{\begin{aligned}x+z=1\\y+z=0\end{aligned}\right.\longrightarrow\left\{\begin{aligned}z=1-\lambda\\y+z=0\end{aligned}\right.

de donde

r\equiv\left\{\begin{aligned}x&=\lambda\\y&=-1+\lambda\\z&=1-\lambda\end{aligned}\right.

La recta s buscada ha de ser perpendicular a r, cuyo vector director es \vec v_r=(1,1,-1) y al vector normal del plano \vec n=(0,1,1), luego:

\vec v_s=\vec v_r\times\vec n=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&-1\\0&1&1\end{vmatrix}=2\vec\imath-\vec\jmath+\vec k=(2,-1,1)

Luego la recta s buscada es: (x,y,z)=(1,1,-1)+\mu(2,-1,1)

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