Problema 289

Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.


Solución:

Dado el triángulo isósceles de la izquierda

p289

nos piden obtener las dimensiones de aquel triángulo con mayor área. El área S del triángulo isósceles es

S(x,h)=\dfrac{2x\cdot h}2=x\cdot h

Los candidatos a optimizar el área son los puntos críticos de la función anterior. Para poder derivar la función área hemos de eliminar una de las variables y para poder hacer esto hemos de utilizar alguna relación entre las variables x y h.

Si observamos el triángulo de la derecha, en él se cumple el teorema de Pitágoras:

x^2+h^2=y^2

de donde

h=\sqrt{y^2-x^2}

El área S se escribe ahora como

S(x,y)=x\cdot \sqrt{y^2-x^2}

Función que seguimos sin poder derivar porque sigue teniendo dos variables x e y.

Ahora utilizamos el dato del perímetro para eliminar una de esas variables.

2x+2y=8~;\\\\x+y=4~;\\\\y=4-x

de donde el área resulta

S(x)=x\cdot\sqrt{(4-x)^2-x^2}=x\cdot\sqrt{16+x^2-8x-x^2}=x\cdot\sqrt{16-8x}=\sqrt{16x^2-8x^3}

Obtenemos los puntos críticos de S:

S'(x)=\dfrac{32x-24x^2}{2\sqrt{16x^2-8x^3}}=\dfrac{16x-12x^2}{\sqrt{16x^2-8x^3}}=0~;\\\\16x-12x^2=0~;\\\\4x(4-3x)=0

Ecuación esta última cuyas soluciones son x=0 y x=4/3.

La primera solución se descarta por no dar lugar a un triángulo sino a un segmento de recta. El candidato a máximo sería x=4/3. Para saber si es el máximo estudiamos la monotonía de la función S en un entorno de x=4/3:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\frac 43)&(\frac 43,2)\\\hline\mbox{Signo }S'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }S(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Como primero crece y luego decrece, en x=4/3 hay un máximo.

Tenemos ya la base del triángulo: 2x=\dfrac 83\mbox{ u.l}. Nos falta la altura h:

y=4-x=4-\dfrac 43=\dfrac 83~;\\\\h=\sqrt{y^2-x^2}=\sqrt{\dfrac{64}9-\dfrac{16}9}=\sqrt{\dfrac{48}9}=\dfrac{4\sqrt 3}3\mbox{ u.l.}

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