Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.
Solución:
Dado el triángulo isósceles de la izquierda
nos piden obtener las dimensiones de aquel triángulo con mayor área. El área S del triángulo isósceles es
Los candidatos a optimizar el área son los puntos críticos de la función anterior. Para poder derivar la función área hemos de eliminar una de las variables y para poder hacer esto hemos de utilizar alguna relación entre las variables x y h.
Si observamos el triángulo de la derecha, en él se cumple el teorema de Pitágoras:
de donde
El área S se escribe ahora como
Función que seguimos sin poder derivar porque sigue teniendo dos variables x e y.
Ahora utilizamos el dato del perímetro para eliminar una de esas variables.
de donde el área resulta
Obtenemos los puntos críticos de S:
Ecuación esta última cuyas soluciones son x=0 y x=4/3.
La primera solución se descarta por no dar lugar a un triángulo sino a un segmento de recta. El candidato a máximo sería x=4/3. Para saber si es el máximo estudiamos la monotonía de la función S en un entorno de x=4/3:
Como primero crece y luego decrece, en x=4/3 hay un máximo.
Tenemos ya la base del triángulo: 
♦
