Problema 290

Considera las funciones f,\,g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definidas por f(x)=6x-x^2 y g(x)=x^2-2x.

a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Solución:

a) Ambas f y g son funciones elementales cuadráticas cuyas gráficas son parábolas.

  • f(x)=6x-x^2 es una parábola cóncava que pasa por los puntos (0,0), (6,0) y (3,9).
  • g(x)=x^2-2x es una parábola convexa que pasa por los puntos (0,0), (2,0) y (1,-1).

Ambas funciones se cortan en:

6x-x^2=x^2-2x~;\\\\2x^2-8x=0~;\\\\2x(x-4)=0

ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=4, por lo que las funciones se cortan en los puntos (0,0) y (4,8).

Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente figura:

p290


b) Calculamos el área de la región sombreada:

\displaystyle \int_0^4 (6x-x^2)-(x^2-2x)~dx=\int_0^4 -2x^2+8x~dx=\left[\dfrac{-2x^3}3+4x^2\right]_0^4=\\\\=-\dfrac{128}3+64=\dfrac{64}3\mbox{ u.a.}

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