Problema 291

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}\alpha&1&-1\\1&\alpha&-1\\-1&-1&\alpha\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}

a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α.

b) Para α=2, resuelve la ecuación matricial AX=B.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A:

\begin{vmatrix}\alpha&1&-1\\1&\alpha&-1\\-1&-1&\alpha\end{vmatrix}=\alpha^3+1+1-\alpha-\alpha-\alpha=\alpha^3-3\alpha+2

determinante cuyas raíces son α=1 y α=-2, por tanto:

  • Si α≠1 y α≠-2, entonces el rango de A es 3.
  • Si α=1, entonces A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1, ya que las filas segunda y tercera son proporcionales a la primera (solo hay una fila linealmente independiente).
  • Si α=-2, entonces A=\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-2&-1\\-1&-1&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}=4-1=3\neq0.

b) Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema AX=B es un sistema compatible determinado ya que según se dijo en el apartado anterior, el rango de A es 3 y es igual al número de variables del sistema.

Resolvemos el sistema con matriz de coeficientes A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix} y matriz de términos independientes B=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&1&-1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-1+1+2-2}{8+1+1-2-2-2}=\dfrac{0}4=0

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&0&-1\\1&1&-1\\-1&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{4-1-1+2}{4}=\dfrac{4}4=1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\-1&-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{4-1-1+2}{4}=\dfrac{4}4=1

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