Dadas las matrices
a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α.
b) Para α=2, resuelve la ecuación matricial .
Solución:
a) Calculamos el determinante de A:
determinante cuyas raíces son α=1 y α=-2, por tanto:
- Si α≠1 y α≠-2, entonces el rango de A es 3.
- Si α=1, entonces
cuyo rango es 1, ya que las filas segunda y tercera son proporcionales a la primera (solo hay una fila linealmente independiente).
- Si α=-2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
b) Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es un sistema compatible determinado ya que según se dijo en el apartado anterior, el rango de A es 3 y es igual al número de variables del sistema.
Resolvemos el sistema con matriz de coeficientes y matriz de términos independientes
, utilizando la regla de Cramer:
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