Problema 292

Considera los puntos $A(-1,k,3),\,B(k+1,0,2),\,C(1,2,0)$ y $D(2,0,1)$ .

a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores $\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{CD}$ sean linealmente dependientes?

b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.

Solución:

a) Primero construimos esos tres vectores:

$\overrightarrow{AB}=(k+1,0,2)-(-1,k,3)=(k+2,-k,-1)\\\\\overrightarrow{BC}=(1,2,0)-(k+1,0,2)=(-k,2,-2)\\\\\overrightarrow{CD}=(2,0,1)-(1,2,0)=(1,-2,1)$

Para que estos tres vectores sean linealmente dependientes, el determinante de la matriz formada por estos tres vectores ha de ser 0:

$\begin{vmatrix}k+2&-k&-1\\-k&2&-2\\1&-2&1\end{vmatrix}=-k^2-2k-2=0$

ecuación de segundo grado que no tiene solución real. Por tanto, no existe ningún valor de k de manera que los tres vectores sean linealmente dependientes.

b) El volumen del tetraedro formado por esos cuatro puntos es:

$V=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}]|}6$