Problema 292

Considera los puntos A(-1,k,3),\,B(k+1,0,2),\,C(1,2,0) y D(2,0,1).

a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC} y \overrightarrow{CD} sean linealmente dependientes?

b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.


Solución:

a) Primero construimos esos tres vectores:

\overrightarrow{AB}=(k+1,0,2)-(-1,k,3)=(k+2,-k,-1)\\\\\overrightarrow{BC}=(1,2,0)-(k+1,0,2)=(-k,2,-2)\\\\\overrightarrow{CD}=(2,0,1)-(1,2,0)=(1,-2,1)

Para que estos tres vectores sean linealmente dependientes, el determinante de la matriz formada por estos tres vectores ha de ser 0:

\begin{vmatrix}k+2&-k&-1\\-k&2&-2\\1&-2&1\end{vmatrix}=-k^2-2k-2=0

ecuación de segundo grado que no tiene solución real. Por tanto, no existe ningún valor de k de manera que los tres vectores sean linealmente dependientes.


b) El volumen del tetraedro formado por esos cuatro puntos es:

V=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}]|}6

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}]=\begin{vmatrix}k+2&-k&-1\\-k&2&-2\\1&-2&1\end{vmatrix}=-k^2-2k-2

Por tanto, como el volumen ha de ser 1:

1=\dfrac{|-k^2-2k-2|}6~;\\\\|-k^2-2k-2|=6

ecuación en valor absoluto que resolvemos del siguiente modo

\bullet~-k^2-2k-2=6~;\\\\k^2+2k+8=0

Esta ecuación no tiene solución real.

\bullet~ k^2+2k+2=6~;\\\\k^2+2k-4=0

Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones k=-1+\sqrt 5 y k=-1-\sqrt 5 que son los valores de k buscados.

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