Problema 293

Sea f la función definida por $f(x)=\dfrac{3x^4+1}{x^3}$ para $x\neq0$ .

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución:

a) Comenzamos por las asíntotas verticales, que si existe estará en el punto de abscisa x=0:

Asíntota vertical.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{0^+}=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{1}{0^-}=-\infty$

Existe, por tanto, asíntota vertical y su ecuación es x=0.

Asíntota horizontal.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}3x=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{3x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow-\infty}3x=-\infty$

No tiene asíntota horizontal.

Asíntota oblicua (y=mx+n).

$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1}{x\cdot x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4}{x^4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}3=3$

$\displaystyle n=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1}{x^3}-3x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1-3x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac 1{x^3}=0$

Sí tiene asíntota oblicua y su ecuación es y=3x.

b) Para estudiar la monotonía de una función, comenzamos por calcular sus puntos críticos:

$f'(x)=\dfrac{12x^3\cdot x^3-(3x^4+1)\cdot 3x^2}{x^6}=\dfrac{12x^6-9x^6-3x^2}{x^6}=\\\\=\dfrac{3x^6-3x^2}{x^6}=\dfrac{3x^4-3}{x^4}=0$

ecuación cuya solución es

$\dfrac{3x^4-3}{x^4}=0~;\\\\3x^4-3=0~;\\\\x^4=1~;\\\\x=\pm1$

Teniendo en cuenta estos puntos críticos y el dominio, construimos la siguiente tabla para estudiar la monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$