Problema 293

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Sea f la función definida por f(x)=\dfrac{3x^4+1}{x^3} para x\neq0.

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución:

a) Comenzamos por las asíntotas verticales, que si existe estará en el punto de abscisa x=0:

  • Asíntota vertical.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{0^+}=+\infty

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{1}{0^-}=-\infty

Existe, por tanto, asíntota vertical y su ecuación es x=0.

  • Asíntota horizontal.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}3x=+\infty

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{3x^4+1}{x^3}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{3x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow-\infty}3x=-\infty

No tiene asíntota horizontal.

  • Asíntota oblicua (y=mx+n).

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1}{x\cdot x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4}{x^4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}3=3

\displaystyle n=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1}{x^3}-3x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3x^4+1-3x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac 1{x^3}=0

Sí tiene asíntota oblicua y su ecuación es y=3x.

b) Para estudiar la monotonía de una función, comenzamos por calcular sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{12x^3\cdot x^3-(3x^4+1)\cdot 3x^2}{x^6}=\dfrac{12x^6-9x^6-3x^2}{x^6}=\\\\=\dfrac{3x^6-3x^2}{x^6}=\dfrac{3x^4-3}{x^4}=0

ecuación cuya solución es

\dfrac{3x^4-3}{x^4}=0~;\\\\3x^4-3=0~;\\\\x^4=1~;\\\\x=\pm1

Teniendo en cuenta estos puntos críticos y el dominio, construimos la siguiente tabla para estudiar la monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
  • Decrece en x\in(-1,0)\cup(0,1)
  • Máximo relativo en (-1,-4)
  • Mínimo relativo en (1,4)

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