Problema 294

Sean f,\,g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R las funciones definidas por f(x)=-\dfrac 14x^2+4 y g(x)=x^2-1.

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-2.

b) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y=x+5. Calcula el área de este recinto.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

donde x_0=-2:

f(-2)=-\dfrac 14(-2)^2+4=3\\\\f'(x)=-\dfrac x2\\\\f'(-2)=1

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente obtenemos

y-3=1(x-(-2)~;\\\\y=x+5


b) Tenemos que esbozar la gráfica de estas tres funciones elementales:

  • y=x+5: es la ecuación de una recta creciente que pasa por los puntos (0,5) y (-5,0).
  • f(x)=-\dfrac 14x^2+4: es la ecuación de una parábola cóncava que pasa por los puntos (0,4), (4,0) y (-4,0).
  • g(x)=x^2-1: es una parábola convexa que pasa por los puntos (1,0), (0,-1) y (-1,0).

Con estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente gráfica.

p294Las tres funciones delimitan la región sombreada. Para calcular el área de dicha región necesitamos conocer los puntos donde las funciones se cortan.

  • Corte de la recta tangente con f:

x+5=-\dfrac 14x^2+4~;\\\\x+1=-\dfrac 14x^2~;\\\\4x+4=-x^2~;\\\\x^2+4x+4=0

ecuación cuya solución es x=-2.

  • Corte de la recta tangente con g:

x+5=x^2-1~;\\\\x^2-x-6=0

ecuación cuyas soluciones son x=-2 y x=3.

  • Corte de la función f con g:

-\dfrac 14x^2+4=x^2-1~;\\\\-\dfrac 14x^2=x^2-5~;\\\\x^2=-4x^2+20~;\\\\5x^2-20=0

ecuación cuyas soluciones son x=-2 y x=2.

Entonces, el área S buscada es:

\displaystyle S=\int_{-2}^2(x+5)-(-\dfrac 14x^2+4)~dx+\int_2^3(x+5)-(x^2-1)~dx=\\\\=\int_{-2}^2\dfrac 14x^2+x+1~dx+\int_2^3-x^2+x+6~dx=\\\\=\left[\frac{x^3}{12}+\frac{x^2}2+x\right]_{-2}^2+\left[\dfrac{-x^3}3+\frac{x^2}2+6x\right]_2^3=\\\\=\left(\frac{14}3-\frac{-2}3\right)+\left(\frac{27}2-\frac{34}3\right)=\\\\=\frac{15}2\mbox{ u.a.}

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