Problema 295

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}\alpha&1\\-\alpha&3\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&3&1\\-1&4&2\end{pmatrix}

a) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es \dfrac 1{12}A.

b) Para α=-3, determina la matriz X que verifica la ecuación A^tX=B, siendo A^t la matriz traspuesta de A.


Solución:

a) Calculamos la matriz inversa de A con la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}\alpha&1\\-\alpha&3\end{vmatrix}=3\alpha+\alpha=4\alpha

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}3&\alpha\\-1&\alpha\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac 1{4\alpha}\begin{pmatrix}3&-1\\\alpha&\alpha\end{pmatrix}

Ahora resolvemos la ecuación A^{-1}=\dfrac 1{12}A:

\dfrac 1{4\alpha}\begin{pmatrix}3&-1\\\alpha&\alpha\end{pmatrix}=\dfrac 1{12}\begin{pmatrix}\alpha&1\\-\alpha&3\end{pmatrix}~;\\\\3\begin{pmatrix}3&-1\\\alpha&\alpha\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}\alpha&1\\-\alpha&3\end{pmatrix}~;\\\\\begin{pmatrix}9&-3\\3\alpha&3\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha^2&\alpha\\-\alpha^2&3\alpha\end{pmatrix}

Ecuación matricial cuya solución es α=-3.


b) Para α=-3, despejamos la matriz X de la ecuación A^tX=B

A^tX=B~;\\\\X=(A^t)^{-1}B~;\\\\X=(A^{-1})^tB

ya que (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t. Por último:

X=(A^{-1})^tB~;\\\\X=\dfrac 1{12}A^tB=\dfrac 1{12}\begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3&1\\-1&4&2\end{pmatrix}=\dfrac 1{12}\begin{pmatrix}-6&3&3\\-2&15&7\end{pmatrix}

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