Dados el plano π de ecuación y la recta r de ecuaciones
a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.
b) Halla el punto simétrico del punto P(1,-2,3) respecto del plano π.
Solución:
a) El punto de intersección Q del plano π y la recta r es la solución del sistema formado por la ecuación del plano con las ecuaciones de la recta:
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es:
entonces el sistema es compatible determinado plano y recta se cortan en un punto. Determinamos las coordenadas de dicho punto resolviendo el sistema utilizando la regla de Cramer:
El punto Q buscado es Q(1,1,4).
b) Para calcular el punto simétrico de P(1,-2,3) respecto del plano, primero calculamos la proyección de dicho P sobre el plano (punto M).El pertenecer al plano
, el punto M lo escribimos en la forma
Construimos el vector .
Por otra parte, el vector normal del plano es , y obligamos a que
y
sean paralelos, con lo que surgen las siguientes ecuaciones:
De estas ecuaciones obtenemos el siguiente sistema
Sistema que tiene por soluciones y=0 y x=2. El punto M es por tanto, M(2,0,2).
Por último, como M es el punto medio entre P y P´, se cumple
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