Problema 296

Dados el plano π de ecuación $x+2y-z=0$ y la recta r de ecuaciones $\left\{\begin{aligned}3x-y=5\\x+y-4z=-13\end{aligned}\right.$

a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.

b) Halla el punto simétrico del punto P(1,-2,3) respecto del plano π.

Solución:

a) El punto de intersección Q del plano π y la recta r es la solución del sistema formado por la ecuación del plano con las ecuaciones de la recta:

$\left\{\begin{aligned}x+2y-z=0\\3x-y=5\\x+y-4z=-13\end{aligned}\right.$

Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es:

$\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}=4-3-1+24=24\neq0$

entonces el sistema es compatible determinado plano y recta se cortan en un punto. Determinamos las coordenadas de dicho punto resolviendo el sistema utilizando la regla de Cramer:

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&2&-1\\5&-1&0\\-13&1&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{48}{24}=2$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&-1\\3&5&0\\1&-13&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{24}{24}=1$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&0\\3&-1&5\\1&1&-13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{96}{24}=4$

El punto Q buscado es Q(1,1,4).

b) Para calcular el punto simétrico de P(1,-2,3) respecto del plano, primero calculamos la proyección de dicho P sobre el plano (punto M). p120 El pertenecer al plano $x+2y-z=0$ , el punto M lo escribimos en la forma

$M=(x,y,x+2y)$

Construimos el vector $\overrightarrow{PM}=(x-1,y+2,x+2y-3)$ .

Por otra parte, el vector normal del plano es $\vec n_{\pi}=(1,2,-1)$ , y obligamos a que $\overrightarrow{MP}$ y $\vec n_{\pi}$ sean paralelos, con lo que surgen las siguientes ecuaciones: