Problema 296

Dados el plano π de ecuación x+2y-z=0 y la recta r de ecuaciones \left\{\begin{aligned}3x-y=5\\x+y-4z=-13\end{aligned}\right.

a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.

b) Halla el punto simétrico del punto P(1,-2,3) respecto del plano π.


Solución:

a) El punto de intersección Q del plano π y la recta r es la solución del sistema formado por la ecuación del plano con las ecuaciones de la recta:

\left\{\begin{aligned}x+2y-z=0\\3x-y=5\\x+y-4z=-13\end{aligned}\right.

Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es:

\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}=4-3-1+24=24\neq0

entonces el sistema es compatible determinado plano y recta se cortan en un punto. Determinamos las coordenadas de dicho punto resolviendo el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&2&-1\\5&-1&0\\-13&1&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{48}{24}=2

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&-1\\3&5&0\\1&-13&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{24}{24}=1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&0\\3&-1&5\\1&1&-13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\\1&1&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{96}{24}=4

El punto Q buscado es Q(1,1,4).


b) Para calcular el punto simétrico de P(1,-2,3) respecto del plano, primero calculamos la proyección de dicho P sobre el plano (punto M).p120El pertenecer al plano x+2y-z=0, el punto M lo escribimos en la forma

M=(x,y,x+2y)

Construimos el vector \overrightarrow{PM}=(x-1,y+2,x+2y-3).

Por otra parte, el vector normal del plano es \vec n_{\pi}=(1,2,-1), y obligamos a que \overrightarrow{MP} y \vec n_{\pi} sean paralelos, con lo que surgen las siguientes ecuaciones:

x-1=\dfrac{y+2}2=-x-2y+3

De estas ecuaciones obtenemos el siguiente sistema

\left\{\begin{array}{l}2x-2=y+2\\x-1=-x-2y+3\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x-y=4\\2x+2y=4\end{array}\right.

Sistema que tiene por soluciones y=0 y x=2. El punto M es por tanto, M(2,0,2).

Por último, como M es el punto medio entre P y P´, se cumple

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P+P'=2M~;\\\\P'=2M-P=(4,0,4)-(1,-2,3)=(3,2,1)

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