Problema 297

Dada la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=ax^3+bx^2+cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y=-3x+3.


Solución:

Con los datos aportados construimos las correspondientes ecuaciones:

  • Punto de inflexión en (1,0)

f(1)=0~;

f''(1)=0~; ya que en el punto de inflexión de una función se cumple que su segunda derivada es 0.

  • Recta tangente en ese punto es y=-3x+3

f'(1)=-3~; ya que la pendiente de la recta tangente es igual al valor de la derivada de la función en el punto de tangencia.

Tenemos así tres ecuaciones para obtener el valor de las tres incógnitas:

\begin{array}{lcl}f(x)=ax^3+bx^2+cx&\longrightarrow& f(1)=a+b+c=0\\f'(x)=3ax^2+2bx+c&\longrightarrow &f'(1)=3a+2b+c=-3\\f''(x)=6ax+2b&\longrightarrow &f''(1)=6a+2b=0\end{array}

Resolvemos el sistema

\left\{\begin{aligned}a+b+c&=0\\3a+2b+c&=-3\\6a+2b&=0\end{aligned}\right.

Sistema cuya solución es a=3, b=-9 y c=6.

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