Problema 298

Sean f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R las funciones definidas por:

f(x)=4-3|x|\qquad g(x)=x^2

a) Esboza las gráficas de f y g. Determina sus puntos de corte.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Solución:

a) En primer lugar escribimos la función f como una función a trozos:

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}4-3x&\mbox{si}&x\geq0\\\\4+3x&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.

Como observamos, f es una recta decreciente para valores mayores que 0 y que pasa por los puntos (0,4) y (4/3,0), y es una recta creciente para valores menores que 0 y que pasa también por el punto (0,4) y por el (-4/3,0).

La función g es una función cuadrática elemental cuya gráfica es una parábola que pasa por los puntos (0,0), (1,1) y (-1,1).

Con estos datos podemos hacer un esbozo de ambas gráficas que nos tiene que quedar semejante a la siguiente figura:

p298

Se puede comprobar que son dos funciones con simetría par.

Calculamos los puntos donde se cortan ambas gráficas:

x^2=4-3x~;\mbox{con }x\ge0\\\\x^2+3x-4=0

Cuya solución es x=1 y x=-4, pero la segunda es descartada por no ser mayor que 0.

Entonces el punto donde se corta la recta con la parábola es el (1,1), y por ser ambas simétricas también se cortan en el punto (-1,1).


b) El área S que tenemos que calcular es la de la región sombreada, y cuyo valor es:

\displaystyle S=\int_{-1}^1f(x)-g(x)~dx

pero, por ser ambas funciones pares, esa integral es igual a

\displaystyle S=2\int_0^1(4-3x)-x^2~dx=2\left[4x-\dfrac{3x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\\\\=2\left[\left(4-\dfrac 32-\dfrac 13\right)-(0)\right]=2\cdot\dfrac{24-9-2}6=\dfrac{13}3\mbox{ u.a.}

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