Problema 299

Sean A y B dos matrices que verifican:

A+B=\begin{pmatrix}4&2\\3&2\end{pmatrix}\qquad A-B=\begin{pmatrix}2&4\\-1&2\end{pmatrix}

a) Halla las matrices (A+B)(A-B) y A^2-B^2.

b) Resuelve la ecuación matricial XA-XB-(A+B)^t=2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A+B)^t la matriz traspuesta de A+B.


Solución:

a) En primer lugar calculamos (A+B)(A-B)

(A+B)(A-B)=\begin{pmatrix}4&2\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&20\\4&16\end{pmatrix}

Ahora calculamos A^2-B^2. Primero hemos de recordar que el producto de matrices no es conmutativo en general, luego AB\neq BA en general:

(A+B)(A-B)=A^2-B^2-AB+BA

donde aparece lo que queremos calcular A^2-B^2. Si hacemos el producto contrario, el resultado es

(A-B)(A+B)=A^2-B^2+AB-BA

Si sumamos estas dos ecuaciones resulta:

(A+B)(A-B)+(A-B)(A+B)=2A^2-2B^2

de donde

A^2-B^2=\dfrac 12\big[(A+B)(A-B)+(A-B)(A+B)\big]

Tenemos que calcular (A-B)(A+B)

(A-B)(A+B)=\begin{pmatrix}2&4\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&12\\2&2\end{pmatrix}

luego

A^2-B^2=\dfrac 12\big[(A+B)(A-B)+(A-B)(A+B)\big]=\\\\=\dfrac 12\left[\begin{pmatrix}6&20\\4&16\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}20&12\\2&2\end{pmatrix}\right]=\dfrac 12\begin{pmatrix}26&32\\6&18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&16\\3&9\end{pmatrix}


b) Resolver la ecuación matricial XA-XB-(A+B)^t=2I. Primero despejamos la matriz X:

XA-XB-(A+B)^t=2I~;\\\\X(A-B)=2I+(A+B)^t~;\\\\X=\big[2I+(A+B)^t\big](A-B)^{-1}

Calculamos

2I+(A+B)^t=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&3\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&3\\2&4\end{pmatrix}

Ahora la matriz inversa de A-B usando la fórmula

\boxed{(A-B)^{-1}=\dfrac 1{|A-B|}\big(\mbox{Adj}(A-B)\big)^t}

|A-B|=\begin{vmatrix}2&4\\-1&2\end{vmatrix}=8

\mbox{Adj}(A-B)=\begin{pmatrix}2&1\\-4&2\end{pmatrix}

(A-B)^{-1}=\dfrac 18\begin{pmatrix}2&-4\\1&2\end{pmatrix}

Y ya podemos calcular la matriz X:

X=\big[2I+(A+B)^t\big](A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}6&3\\2&4\end{pmatrix}\dfrac 18\begin{pmatrix}2&-4\\1&2\end{pmatrix}=\\\\=\dfrac 18\begin{pmatrix}15&-18\\8&0\end{pmatrix}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s