Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones
a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P.
b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.
Solución:
a) Por ser el plano π buscado perpendicular a r, entonces el vector normal de dicho plano ha de ser paralelo al vector director de la recta r: . Luego la ecuación implícita del plano viene siendo:
Para hacer que este plano pase por P, simplemente sustituimos las coordenadas de P en la ecuación implícita del plano π y calculamos D:
Por lo que el plano buscado es:
b1) La distancia de un punto P a una recta r es:
donde es un punto cualquiera de la recta r. Un punto cualquiera de la recta r es el (1,0,0), luego
y la distancia buscada es:
b2) Punto simétrico de P respecto de r.
Comenzamos por calcular un plano perpendicular a r y que pase por P. Esto ya lo hicimos en el apartado a) y dicho plano es
.
Este plano corta a r en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto .
El punto M calculado es el punto medio entre P y P´ (punto simétrico de P respecto de r) que nos permitirá calcular este segundo punto:
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