Problema 300

Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P.

b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.


Solución:

a) Por ser el plano π buscado perpendicular a r, entonces el vector normal de dicho plano ha de ser paralelo al vector director de la recta r: \vec n_{\pi}=\vec v_r=(0,-2,1). Luego la ecuación implícita del plano viene siendo:

\pi:~-2y+z+D=0

Para hacer que este plano pase por P, simplemente sustituimos las coordenadas de P en la ecuación implícita del plano π y calculamos D:

-2\cdot3+(-1)+D=0~;\\\\D=7

Por lo que el plano buscado es:

\pi:~-2y+z+7=0


b1) La distancia de un punto P a una recta r es:

\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}

donde P_r es un punto cualquiera de la recta r. Un punto cualquiera de la recta r es el (1,0,0), luego

\overrightarrow{PP_r}=(1,0,0)-(2,3,-1)=(-1,-3,1)

\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&-3&1\\0&-2&1\end{vmatrix}=(-3+2)\vec\imath+\vec\jmath+2\vec k=(-1,1,2)

y la distancia buscada es:

d(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}=\dfrac{\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}}{\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}}=\sqrt{\dfrac 65}\mbox{ u.l.}


b2) Punto simétrico de P respecto de r.

p52Comenzamos por calcular un plano perpendicular a r y que pase por P. Esto ya lo hicimos en el apartado a) y dicho plano es \pi:~-2y+z+7=0.

Este plano corta a r en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano:

-2\cdot (-2\lambda)+\lambda+7=0~;\\\\5\lambda=-7~;\\\\\lambda=\dfrac{-7}5

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto M=(1,\frac{14}5,\frac{-7}5).

El punto M calculado es el punto medio entre P y P´ (punto simétrico de P respecto de r) que nos permitirá calcular este segundo punto:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(2,\frac{28}5,\frac{-14}5)-(2,3,-1)=(0,\frac{13}5,\frac{-9}5)

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