Problema 300

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIdurán

Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones $\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.$

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P.

b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.

Solución:

a) Por ser el plano π buscado perpendicular a r, entonces el vector normal de dicho plano ha de ser paralelo al vector director de la recta r: $\vec n_{\pi}=\vec v_r=(0,-2,1)$ . Luego la ecuación implícita del plano viene siendo:

$\pi:~-2y+z+D=0$

Para hacer que este plano pase por P, simplemente sustituimos las coordenadas de P en la ecuación implícita del plano π y calculamos D:

$-2\cdot3+(-1)+D=0~;\\\\D=7$

Por lo que el plano buscado es:

$\pi:~-2y+z+7=0$

b1) La distancia de un punto P a una recta r es:

$\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}$

donde $P_r$ es un punto cualquiera de la recta r. Un punto cualquiera de la recta r es el (1,0,0), luego

$\overrightarrow{PP_r}=(1,0,0)-(2,3,-1)=(-1,-3,1)$

$\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&-3&1\\0&-2&1\end{vmatrix}=(-3+2)\vec\imath+\vec\jmath+2\vec k=(-1,1,2)$

y la distancia buscada es:

$d(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}=\dfrac{\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}}{\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}}=\sqrt{\dfrac 65}\mbox{ u.l.}$

b2) Punto simétrico de P respecto de r.

p52 Comenzamos por calcular un plano perpendicular a r y que pase por P. Esto ya lo hicimos en el apartado a) y dicho plano es $\pi:~-2y+z+7=0$ .

Este plano corta a r en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano:

$-2\cdot (-2\lambda)+\lambda+7=0~;\\\\5\lambda=-7~;\\\\\lambda=\dfrac{-7}5$

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto $M=(1,\frac{14}5,\frac{-7}5)$ .

El punto M calculado es el punto medio entre P y P´ (punto simétrico de P respecto de r) que nos permitirá calcular este segundo punto:

$M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(2,\frac{28}5,\frac{-14}5)-(2,3,-1)=(0,\frac{13}5,\frac{-9}5)$

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