En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola . Determine las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.
Solución:
La función es una función cuadrática elemental cuya gráfica es una parábola cóncava que tiene su vértice en (0,3) y corta al eje x en los puntos
y
.
Dibujamos un rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas con un vértice sobre el punto (0,0) y el vértice opuesto en un punto P de la parábola de coordenadas desconocidas , donde
por ser P un punto de la parábola.
Hemos de maximizar (optimizar) la función área del rectángulo. La función área S es:
pero ya que el punto P está sobre la parábola, entonces:
Calculamos los puntos críticos de esta función:
Descartamos el resultado negativo por simetría.
Para ver si en x=1 se alcanza un máximo o un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:
Por tanto, en x=1 se alcanza un máximo en la función área.
Luego las dimensiones del rectángulo buscado son x=1, y=2 en unidades de longitud.
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