Problema 301

En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y=-x^2+3. Determine las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.


Solución:

La función y=-x^2+3 es una función cuadrática elemental cuya gráfica es una parábola cóncava que tiene su vértice en (0,3) y corta al eje x en los puntos (-\sqrt3,0) y (\sqrt3,0).

Dibujamos un rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas con un vértice sobre el punto (0,0) y el vértice opuesto en un punto P de la parábola de coordenadas desconocidas (x,y), donde y=-x^2+3 por ser P un punto de la parábola.

p301

Hemos de maximizar (optimizar) la función área del rectángulo. La función área S es:

S(x,y)=x\cdot y

pero y=-x^2+3 ya que el punto P está sobre la parábola, entonces:

S(x)=x(-x^2+3)=-x^3+3x

Calculamos los puntos críticos de esta función:

S'(x)=-3x^2+3=0~;\\\\3x^2=3~;\\\\x^2=1~;\\\\x=\pm1

Descartamos el resultado negativo por simetría.

Para ver si en x=1 se alcanza un máximo o un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:

S''(x)=-6x~;\\\\S''(1)=-6<0

Por tanto, en x=1 se alcanza un máximo en la función área.

Luego las dimensiones del rectángulo buscado son x=1, y=2 en unidades de longitud.

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