En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola . Determine las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

Solución:

La función es una función cuadrática elemental cuya gráfica es una parábola cóncava que tiene su vértice en (0,3) y corta al eje x en los puntos y .

Dibujamos un rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas con un vértice sobre el punto (0,0) y el vértice opuesto en un punto P de la parábola de coordenadas desconocidas , donde por ser P un punto de la parábola.

Hemos de maximizar (optimizar) la función área del rectángulo. La función área S es:

pero ya que el punto P está sobre la parábola, entonces:

Calculamos los puntos críticos de esta función:

Descartamos el resultado negativo por simetría.

Para ver si en x=1 se alcanza un máximo o un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:

Por tanto, en x=1 se alcanza un máximo en la función área.

Luego las dimensiones del rectángulo buscado son x=1, y=2 en unidades de longitud.

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