Problema 303

Sea la matriz

$A=\begin{pmatrix}3&0&\lambda\\-5&\lambda&-5\\\lambda&0&3\end{pmatrix}$

a) Determina los valores de λ para los que la matriz $A-2I$ tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) Para λ=-2, resuelve la ecuación matricial $AX=2X+I$ .

Solución:

a) Comenzamos por calcular la matriz $A-2I$ :

$A-2I=\begin{pmatrix}3&0&\lambda\\-5&\lambda&-5\\\lambda&0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&\lambda\\-5&\lambda-2&-5\\\lambda&0&1\end{pmatrix}$

Un matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Entonces calculamos el determinante de la matriz a anterior, lo igualamos a 0 y resolvemos:

$\begin{vmatrix}1&0&\lambda\\-5&\lambda-2&-5\\\lambda&0&1\end{vmatrix}=\lambda-2-\lambda^2(\lambda-2)=\lambda-2-\lambda^3+2\lambda^2=0$