Problema 303

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IIdurán

Sea la matriz

$A=\begin{pmatrix}3&0&\lambda\\-5&\lambda&-5\\\lambda&0&3\end{pmatrix}$

a) Determina los valores de λ para los que la matriz $A-2I$ tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) Para λ=-2, resuelve la ecuación matricial $AX=2X+I$ .

Solución:

a) Comenzamos por calcular la matriz $A-2I$ :

$A-2I=\begin{pmatrix}3&0&\lambda\\-5&\lambda&-5\\\lambda&0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&\lambda\\-5&\lambda-2&-5\\\lambda&0&1\end{pmatrix}$

Un matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Entonces calculamos el determinante de la matriz a anterior, lo igualamos a 0 y resolvemos:

$\begin{vmatrix}1&0&\lambda\\-5&\lambda-2&-5\\\lambda&0&1\end{vmatrix}=\lambda-2-\lambda^2(\lambda-2)=\lambda-2-\lambda^3+2\lambda^2=0$

ecuación de tercer grado que se puede resolver por Ruffini y cuyas soluciones son: $\lambda=2,\,\lambda=1\mbox{ y }\lambda=1$ .

Por tanto, $A-2I$ es invertible sí $\lambda\neq2,\,\lambda\neq1\mbox{ y }\lambda\neq1$

b) Primero despejamos X de la ecuación matricial:

$AX=2X+I~;\\\\AX-2X=I~;\\\\(A-2I)X=I~;\\\\X=(A-2I)^{-1}$

Necesitamos calcular la matriz inversa de $A-2I$ para $\lambda=-2$ :

$A-2I=\begin{pmatrix}1&0&-2\\-5&-4&-5\\-2&0&1\end{pmatrix}$

La fórmula de la matriz inversa de una matriz M cualquiera es:

$\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}$

En nuestro caso $M=A-2I$ :

$|A-2I|=8+8-2-2=12$

$\mbox{Adj}(A-2I)=\begin{pmatrix}-4&15&-8\\0&-3&0\\-8&15&-4\end{pmatrix}$

$(A-2I)^{-1}=\dfrac 1{12}\begin{pmatrix}-4&0&-8\\15&-3&15\\-8&0&-4\end{pmatrix}=X$

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