Problema 303

Sea la matriz

A=\begin{pmatrix}3&0&\lambda\\-5&\lambda&-5\\\lambda&0&3\end{pmatrix}

a) Determina los valores de λ para los que la matriz A-2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) Para λ=-2, resuelve la ecuación matricial AX=2X+I.


Solución:

a) Comenzamos por calcular la matriz A-2I:

A-2I=\begin{pmatrix}3&0&\lambda\\-5&\lambda&-5\\\lambda&0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&\lambda\\-5&\lambda-2&-5\\\lambda&0&1\end{pmatrix}

Un matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Entonces calculamos el determinante de la matriz a anterior, lo igualamos a 0 y resolvemos:

\begin{vmatrix}1&0&\lambda\\-5&\lambda-2&-5\\\lambda&0&1\end{vmatrix}=\lambda-2-\lambda^2(\lambda-2)=\lambda-2-\lambda^3+2\lambda^2=0

ecuación de tercer grado que se puede resolver por Ruffini y cuyas soluciones son: \lambda=2,\,\lambda=1\mbox{ y }\lambda=1.

Por tanto, A-2I es invertible sí \lambda\neq2,\,\lambda\neq1\mbox{ y }\lambda\neq1


b) Primero despejamos X de la ecuación matricial:

AX=2X+I~;\\\\AX-2X=I~;\\\\(A-2I)X=I~;\\\\X=(A-2I)^{-1}

Necesitamos calcular la matriz inversa de A-2I para \lambda=-2:

A-2I=\begin{pmatrix}1&0&-2\\-5&-4&-5\\-2&0&1\end{pmatrix}

La fórmula de la matriz inversa de una matriz M cualquiera es:

\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

En nuestro caso M=A-2I:

|A-2I|=8+8-2-2=12

\mbox{Adj}(A-2I)=\begin{pmatrix}-4&15&-8\\0&-3&0\\-8&15&-4\end{pmatrix}

(A-2I)^{-1}=\dfrac 1{12}\begin{pmatrix}-4&0&-8\\15&-3&15\\-8&0&-4\end{pmatrix}=X

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